Question

862. 和至少为 K 的最短子数组

English Version

题目描述

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，找出 nums 中和至少为 k 的 最短非空子数组 ，并返回该子数组的长度。如果不存在这样的 子数组 ，返回 -1 。

子数组 是数组中 连续 的一部分。

 

示例 1：

输入：nums = [1], k = 1
输出：1

示例 2：

输入：nums = [1,2], k = 4
输出：-1

示例 3：

输入：nums = [2,-1,2], k = 3
输出：3

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• -105 <= nums[i] <= 105
• 1 <= k <= 109

解法

方法一：前缀和 + 单调队列

题目要求找到一个最短的子数组，使得子数组的和大于等于 $k$。不难想到，可以使用前缀和快速计算子数组的和。

我们用一个长度为 $n+1$ 的数组 $s[i]$ 表示数组 $nums$ 前 $i$ 个元素的和。另外，我们需要维护一个严格单调递增的队列 $q$，队列中存储的是前缀和数组 $s[i]$ 的下标。注意，这里的单调递增是指下标对应的前缀和的大小，而不是下标的大小。

为什么存的是下标呢？这是为了方便计算子数组的长度。那为什么队列严格单调递增？我们可以用反证法来说明。

假设队列元素非严格单调递增，也即是说，存在下标 $i$ 和 $j$，满足 $i < j$，且 $s[i] \geq s[j]$。

当遍历到下标 $k$，其中 $i \lt j \lt k \leq n$，此时 $s[k]-s[j] \geq s[k]-s[i]$，且 $nums[j..k-1]$ 的长度小于 $nums[i..k-1]$ 的长度。由于下标 $j$ 的存在，子数组 $nums[i..k-1]$ 一定不是最优解，队列中的下标 $i$ 是不必要的，需要将其移除。因此，队列中的元素一定严格单调递增。

回到这道题目上，我们遍历前缀和数组 $s$，对于遍历到的下标 $i$，如果 $s[i] - s[q.front] \geq k$，说明当前遇到了一个可行解，我们可以更新答案。此时，我们需要将队首元素出队，直到队列为空或者 $s[i] - s[q.front] \lt k$ 为止。

如果此时队列不为空，为了维持队列的严格单调递增，我们还需要判断队尾元素是否需要出队，如果 $s[q.back] \geq s[i]$，则需要循环将队尾元素出队，直到队列为空或者 $s[q.back] \lt s[i]$ 为止。然后，我们将下标 $i$ 入队。

遍历结束，如果我们没有找到可行解，那么返回 $-1$。否则，返回答案。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是数组 $nums$ 的长度。

class Solution:
  def shortestSubarray(self, nums: List[int], k: int) -> int:
    s = list(accumulate(nums, initial=0))
    q = deque()
    ans = inf
    for i, v in enumerate(s):
      while q and v - s[q[0]] >= k:
        ans = min(ans, i - q.popleft())
      while q and s[q[-1]] >= v:
        q.pop()
      q.append(i)
    return -1 if ans == inf else ans

class Solution {
  public int shortestSubarray(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    long[] s = new long[n + 1];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      s[i + 1] = s[i] + nums[i];
    }
    Deque<Integer> q = new ArrayDeque<>();
    int ans = n + 1;
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
      while (!q.isEmpty() && s[i] - s[q.peek()] >= k) {
        ans = Math.min(ans, i - q.poll());
      }
      while (!q.isEmpty() && s[q.peekLast()] >= s[i]) {
        q.pollLast();
      }
      q.offer(i);
    }
    return ans > n ? -1 : ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int shortestSubarray(vector<int>& nums, int k) {
    int n = nums.size();
    vector<long> s(n + 1);
    for (int i = 0; i < n; ++i) s[i + 1] = s[i] + nums[i];
    deque<int> q;
    int ans = n + 1;
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
      while (!q.empty() && s[i] - s[q.front()] >= k) {
        ans = min(ans, i - q.front());
        q.pop_front();
      }
      while (!q.empty() && s[q.back()] >= s[i]) q.pop_back();
      q.push_back(i);
    }
    return ans > n ? -1 : ans;
  }
};

func shortestSubarray(nums []int, k int) int {
  n := len(nums)
  s := make([]int, n+1)
  for i, x := range nums {
    s[i+1] = s[i] + x
  }
  q := []int{}
  ans := n + 1
  for i, v := range s {
    for len(q) > 0 && v-s[q[0]] >= k {
      ans = min(ans, i-q[0])
      q = q[1:]
    }
    for len(q) > 0 && s[q[len(q)-1]] >= v {
      q = q[:len(q)-1]
    }
    q = append(q, i)
  }
  if ans > n {
    return -1
  }
  return ans
}