Question

1219. 黄金矿工

English Version

题目描述

你要开发一座金矿，地质勘测学家已经探明了这座金矿中的资源分布，并用大小为 m * n 的网格 grid 进行了标注。每个单元格中的整数就表示这一单元格中的黄金数量；如果该单元格是空的，那么就是 0。

为了使收益最大化，矿工需要按以下规则来开采黄金：

• 每当矿工进入一个单元，就会收集该单元格中的所有黄金。
• 矿工每次可以从当前位置向上下左右四个方向走。
• 每个单元格只能被开采（进入）一次。
• 不得开采（进入）黄金数目为 0 的单元格。
• 矿工可以从网格中 任意一个 有黄金的单元格出发或者是停止。

 

示例 1：

输入：grid = [[0,6,0],[5,8,7],[0,9,0]]
输出：24
解释：
[[0,6,0],
 [5,8,7],
 [0,9,0]]
一种收集最多黄金的路线是：9 -> 8 -> 7。

示例 2：

输入：grid = [[1,0,7],[2,0,6],[3,4,5],[0,3,0],[9,0,20]]
输出：28
解释：
[[1,0,7],
 [2,0,6],
 [3,4,5],
 [0,3,0],
 [9,0,20]]
一种收集最多黄金的路线是：1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 6 -> 7。

 

提示：

• 1 <= grid.length, grid[i].length <= 15
• 0 <= grid[i][j] <= 100
• 最多 25 个单元格中有黄金。

解法

方法一：DFS

我们可以枚举每个格子作为起点，然后从起点开始进行深度优先搜索。在搜索的过程中，每遇到一个非零的格子，就将其变成零，并继续搜索。当无法继续搜索时，计算当前的路径的黄金总数，然后将当前的格子变回非零的格子，从而进行回溯。

时间复杂度 $O(m \times n \times 3^k)$，其中 $k$ 是每条路径的最大长度。由于每个格子最多只能被访问一次，因此时间复杂度不会超过 $O(m \times n \times 3^k)$。空间复杂度 $O(m \times n)$。

class Solution:
  def getMaximumGold(self, grid: List[List[int]]) -> int:
    def dfs(i: int, j: int) -> int:
      if not (0 <= i < m and 0 <= j < n and grid[i][j]):
        return 0
      v = grid[i][j]
      grid[i][j] = 0
      ans = max(dfs(i + a, j + b) for a, b in pairwise(dirs)) + v
      grid[i][j] = v
      return ans

    m, n = len(grid), len(grid[0])
    dirs = (-1, 0, 1, 0, -1)
    return max(dfs(i, j) for i in range(m) for j in range(n))

class Solution {
  private final int[] dirs = {-1, 0, 1, 0, -1};
  private int[][] grid;
  private int m;
  private int n;

  public int getMaximumGold(int[][] grid) {
    m = grid.length;
    n = grid[0].length;
    this.grid = grid;
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        ans = Math.max(ans, dfs(i, j));
      }
    }
    return ans;
  }

  private int dfs(int i, int j) {
    if (i < 0 || i >= m || j < 0 || j >= n || grid[i][j] == 0) {
      return 0;
    }
    int v = grid[i][j];
    grid[i][j] = 0;
    int ans = 0;
    for (int k = 0; k < 4; ++k) {
      ans = Math.max(ans, v + dfs(i + dirs[k], j + dirs[k + 1]));
    }
    grid[i][j] = v;
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int getMaximumGold(vector<vector<int>>& grid) {
    int m = grid.size(), n = grid[0].size();
    function<int(int, int)> dfs = [&](int i, int j) {
      if (i < 0 || i >= m || j < 0 || j >= n || !grid[i][j]) {
        return 0;
      }
      int v = grid[i][j];
      grid[i][j] = 0;
      int ans = v + max({dfs(i - 1, j), dfs(i + 1, j), dfs(i, j - 1), dfs(i, j + 1)});
      grid[i][j] = v;
      return ans;
    };
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        ans = max(ans, dfs(i, j));
      }
    }
    return ans;
  }
};

func getMaximumGold(grid [][]int) (ans int) {
  m, n := len(grid), len(grid[0])
  var dfs func(i, j int) int
  dfs = func(i, j int) int {
    if i < 0 || i >= m || j < 0 || j >= n || grid[i][j] == 0 {
      return 0
    }
    v := grid[i][j]
    grid[i][j] = 0
    ans := 0
    dirs := []int{-1, 0, 1, 0, -1}
    for k := 0; k < 4; k++ {
      ans = max(ans, v+dfs(i+dirs[k], j+dirs[k+1]))
    }
    grid[i][j] = v
    return ans
  }
  for i := 0; i < m; i++ {
    for j := 0; j < n; j++ {
      ans = max(ans, dfs(i, j))
    }
  }
  return
}

function getMaximumGold(grid: number[][]): number {
  const m = grid.length;
  const n = grid[0].length;
  const dfs = (i: number, j: number): number => {
    if (i < 0 || i >= m || j < 0 || j >= n || !grid[i][j]) {
      return 0;
    }
    const v = grid[i][j];
    grid[i][j] = 0;
    let ans = v + Math.max(dfs(i - 1, j), dfs(i + 1, j), dfs(i, j - 1), dfs(i, j + 1));
    grid[i][j] = v;
    return ans;
  };
  let ans = 0;
  for (let i = 0; i < m; i++) {
    for (let j = 0; j < n; j++) {
      ans = Math.max(ans, dfs(i, j));
    }
  }
  return ans;
}

/**
 * @param {number[][]} grid
 * @return {number}
 */
var getMaximumGold = function (grid) {
  const m = grid.length;
  const n = grid[0].length;
  const dfs = (i, j) => {
    if (i < 0 || i >= m || j < 0 || j >= n || !grid[i][j]) {
      return 0;
    }
    const v = grid[i][j];
    grid[i][j] = 0;
    let ans = v + Math.max(dfs(i - 1, j), dfs(i + 1, j), dfs(i, j - 1), dfs(i, j + 1));
    grid[i][j] = v;
    return ans;
  };
  let ans = 0;
  for (let i = 0; i < m; i++) {
    for (let j = 0; j < n; j++) {
      ans = Math.max(ans, dfs(i, j));
    }
  }
  return ans;
};