Question

2741. 特别的排列

English Version

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，它包含 n 个 互不相同 的正整数。如果 nums 的一个排列满足以下条件，我们称它是一个特别的排列：

• 对于 0 <= i < n - 1 的下标 i ，要么 nums[i] % nums[i+1] == 0 ，要么 nums[i+1] % nums[i] == 0 。

请你返回特别排列的总数目，由于答案可能很大，请将它对 109 + 7 取余 后返回。

 

示例 1：

输入：nums = [2,3,6]
输出：2
解释：[3,6,2] 和 [2,6,3] 是 nums 两个特别的排列。

示例 2：

输入：nums = [1,4,3]
输出：2
解释：[3,1,4] 和 [4,1,3] 是 nums 两个特别的排列。

 

提示：

• 2 <= nums.length <= 14
• 1 <= nums[i] <= 109

解法

方法一：状态压缩动态规划

我们注意到题目中数组的长度最大不超过 $14$，因此，我们可以用一个整数来表示当前的状态，其中第 $i$ 位为 $1$ 表示数组中的第 $i$ 个数已经被选取，为 $0$ 表示数组中的第 $i$ 个数还未被选取。

我们定义 $f[i][j]$ 表示当前选取的整数状态为 $i$，且最后一个选取的整数下标为 $j$ 的方案数。初始时 $f[0][0]=0$，答案为 $\sum_{j=0}^{n-1}f[2^n-1][j]$。

考虑 $f[i][j]$，如果当前只有一个数被选取，那么 $f[i][j]=1$。否则，我们可以枚举上一个选择的数的下标 $k$，如果 $k$ 与 $j$ 对应的数满足题目要求，那么 $f[i][j]$ 可以从 $f[i \oplus 2^j][k]$ 转移而来。即：

$$ f[i][j]= \begin{cases} 1, & i=2^j\ \sum_{k=0}^{n-1}f[i \oplus 2^j][k], & i \neq 2^j \text{且} \text{nums}[j] \text{与} \text{nums}[k] \text{满足题目要求}\ \end{cases} $$

最终答案即为 $\sum_{j=0}^{n-1}f[2^n-1][j]$。注意答案可能很大，需要对 $10^9+7$ 取模。

时间复杂度 $O(n^2 \times 2^n)$，空间复杂度 $O(n \times 2^n)$。其中 $n$ 为数组的长度。

class Solution:
  def specialPerm(self, nums: List[int]) -> int:
    mod = 10**9 + 7
    n = len(nums)
    m = 1 << n
    f = [[0] * n for _ in range(m)]
    for i in range(1, m):
      for j, x in enumerate(nums):
        if i >> j & 1:
          ii = i ^ (1 << j)
          if ii == 0:
            f[i][j] = 1
            continue
          for k, y in enumerate(nums):
            if x % y == 0 or y % x == 0:
              f[i][j] = (f[i][j] + f[ii][k]) % mod
    return sum(f[-1]) % mod

class Solution {
  public int specialPerm(int[] nums) {
    final int mod = (int) 1e9 + 7;
    int n = nums.length;
    int m = 1 << n;
    int[][] f = new int[m][n];
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if ((i >> j & 1) == 1) {
          int ii = i ^ (1 << j);
          if (ii == 0) {
            f[i][j] = 1;
            continue;
          }
          for (int k = 0; k < n; ++k) {
            if (nums[j] % nums[k] == 0 || nums[k] % nums[j] == 0) {
              f[i][j] = (f[i][j] + f[ii][k]) % mod;
            }
          }
        }
      }
    }
    int ans = 0;
    for (int x : f[m - 1]) {
      ans = (ans + x) % mod;
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int specialPerm(vector<int>& nums) {
    const int mod = 1e9 + 7;
    int n = nums.size();
    int m = 1 << n;
    int f[m][n];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if ((i >> j & 1) == 1) {
          int ii = i ^ (1 << j);
          if (ii == 0) {
            f[i][j] = 1;
            continue;
          }
          for (int k = 0; k < n; ++k) {
            if (nums[j] % nums[k] == 0 || nums[k] % nums[j] == 0) {
              f[i][j] = (f[i][j] + f[ii][k]) % mod;
            }
          }
        }
      }
    }
    int ans = 0;
    for (int x : f[m - 1]) {
      ans = (ans + x) % mod;
    }
    return ans;
  }
};

func specialPerm(nums []int) (ans int) {
  const mod int = 1e9 + 7
  n := len(nums)
  m := 1 << n
  f := make([][]int, m)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, n)
  }
  for i := 1; i < m; i++ {
    for j, x := range nums {
      if i>>j&1 == 1 {
        ii := i ^ (1 << j)
        if ii == 0 {
          f[i][j] = 1
          continue
        }
        for k, y := range nums {
          if x%y == 0 || y%x == 0 {
            f[i][j] = (f[i][j] + f[ii][k]) % mod
          }
        }
      }
    }
  }
  for _, x := range f[m-1] {
    ans = (ans + x) % mod
  }
  return
}