Question

2509. 查询树中环的长度

English Version

题目描述

给你一个整数 n ，表示你有一棵含有 2n - 1 个节点的 完全二叉树 。根节点的编号是 1 ，树中编号在[1, 2n - 1 - 1] 之间，编号为 val 的节点都有两个子节点，满足：

• 左子节点的编号为 2 * val
• 右子节点的编号为 2 * val + 1

给你一个长度为 m 的查询数组 queries ，它是一个二维整数数组，其中 queries[i] = [ai, bi] 。对于每个查询，求出以下问题的解：

1. 在节点编号为 ai 和 bi 之间添加一条边。
2. 求出图中环的长度。
3. 删除节点编号为 ai 和 bi 之间新添加的边。

注意：

• 环 是开始和结束于同一节点的一条路径，路径中每条边都只会被访问一次。
• 环的长度是环中边的数目。
• 在树中添加额外的边后，两个点之间可能会有多条边。

请你返回一个长度为 m 的数组_ _answer ，其中 answer[i] 是第 i 个查询的结果。

 

示例 1：

输入：n = 3, queries = [[5,3],[4,7],[2,3]]
输出：[4,5,3]
解释：上图是一棵有 23 - 1 个节点的树。红色节点表示添加额外边后形成环的节点。
- 在节点 3 和节点 5 之间添加边后，环为 [5,2,1,3] ，所以第一个查询的结果是 4 。删掉添加的边后处理下一个查询。
- 在节点 4 和节点 7 之间添加边后，环为 [4,2,1,3,7] ，所以第二个查询的结果是 5 。删掉添加的边后处理下一个查询。
- 在节点 2 和节点 3 之间添加边后，环为 [2,1,3] ，所以第三个查询的结果是 3 。删掉添加的边。

示例 2：

输入：n = 2, queries = [[1,2]]
输出：[2]
解释：上图是一棵有 22 - 1 个节点的树。红色节点表示添加额外边后形成环的节点。
- 在节点 1 和节点 2 之间添加边后，环为 [2,1] ，所以第一个查询的结果是 2 。删掉添加的边。

 

提示：

• 2 <= n <= 30
• m == queries.length
• 1 <= m <= 105
• queries[i].length == 2
• 1 <= ai, bi <= 2n - 1
• ai != bi

解法

方法一：求最近公共祖先

对于每次查询，我们找出 $a$, $b$ 两个节点的最近公共祖先，并且记录向上走的步数，那么此次查询的答案就是步数加一。

求最近公共祖先时，如果 $a \gt b$，那么我们将 $a$ 往父节点移动；如果 $a \lt b$，我们将 $b$ 往其父节点移动。过程中累计步数，直至 $a = b$。

时间复杂度 $O(n \times m)$。其中 $m$ 为数组 queries 的长度。

class Solution:
  def cycleLengthQueries(self, n: int, queries: List[List[int]]) -> List[int]:
    ans = []
    for a, b in queries:
      t = 1
      while a != b:
        if a > b:
          a >>= 1
        else:
          b >>= 1
        t += 1
      ans.append(t)
    return ans

class Solution {
  public int[] cycleLengthQueries(int n, int[][] queries) {
    int m = queries.length;
    int[] ans = new int[m];
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      int a = queries[i][0], b = queries[i][1];
      int t = 1;
      while (a != b) {
        if (a > b) {
          a >>= 1;
        } else {
          b >>= 1;
        }
        ++t;
      }
      ans[i] = t;
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  vector<int> cycleLengthQueries(int n, vector<vector<int>>& queries) {
    vector<int> ans;
    for (auto& q : queries) {
      int a = q[0], b = q[1];
      int t = 1;
      while (a != b) {
        if (a > b) {
          a >>= 1;
        } else {
          b >>= 1;
        }
        ++t;
      }
      ans.emplace_back(t);
    }
    return ans;
  }
};

func cycleLengthQueries(n int, queries [][]int) []int {
  ans := []int{}
  for _, q := range queries {
    a, b := q[0], q[1]
    t := 1
    for a != b {
      if a > b {
        a >>= 1
      } else {
        b >>= 1
      }
      t++
    }
    ans = append(ans, t)
  }
  return ans
}