Question

如果 x^T y = 0，则两个向量 x，y ∈ R ⁿ 是 正交 的。对于一个向量 x ∈ R ⁿ ，如果则是 x 归一化 的。对于一个方阵 U ∈ R ^{n × n} ，如果所有列都是彼此正交和归一化的，（列就称为标准正交）则这个方阵是正交的（注意在讨论向量或矩阵时，正交具有不同的含义）。

根据正交和归一化的定义可得：

U^T U = I = UU^T

换言之，一个正交矩阵的逆矩阵的是它的转置。注意，如果 U 不是方阵的，也就是说， U ∈ R ^{m × n} ， n < m， 但它的列仍然是正交的，则 U^T U = I ，但 UU^T ≠ I .等。我们一般只使用正交这个术语来描述 U 为方阵的情形。

另一个正交矩阵的很好的属性是，向量与正交矩阵的运算将不会改变其欧氏范数，即对于任意 x ∈ R ⁿ ，正交的 U ∈ R ^{n × n} ：