Question

想象一下，我从静止起动了汽车，用力踩下油门，不松开油门。由于我们一开始没有移动，因此起动速度为0。

试想一下，我们非常用力地踩下油门，汽车不以恒定的速率增加速度。相反，汽车更快地提高速度。这意味着，它每分钟不是提高10英里每小时，而是随着踩下油门时间增加，汽车加速度本身也增加了。

对于这个例子，想象一下，我们每分钟测量一次速度，如下表所列。

时间/分	速度（英里/小时）
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64

如果你仔细观察可以发现，我选择让速度为时间（分钟）的平方。即，在时间为2分钟时，速度为2² = 4；在时间为3分钟时，速度为3² =9；在时间为4分钟时，速度为4² = 16；依此类推。

现在，这个表达式也很容易写出来了。

虽然我知道示例的汽车速度是有意为之的，但是这非常好地阐述我们如何进行微积分计算。

让我们将这个表达式可视化，这样，我们就可以感觉到，速度如何随时间的变化而变化。

可以看到速度的变化越来越快。当前，这幅图已经不是一条直线了。可以想象一下，速度爆炸式地快速增加到非常大的数字。在20分钟时，速度将达到400英里每小时；在100分钟时，速度将达到10000英里每小时！

一个有趣的问题是——相对于时间，速度的变化率是什么样的？也就是说，速度如何随时间的变化而变化？

这与在特定时间点实际速度是多少的问题不一样。我们已经有了表达式s = t² ，因此已经知道这个值了。

我们要问的是——在任何时间点，速度的变化率是多少？在这个示例中，这句话的意思是图线向何处弯曲？

如果回想一下前面的两个例子，可以发现，变化率是速度关于时间的曲线的斜率。当汽车以恒定30英里每小时的速度前进时，速度并未改变，因此变化率为0。当汽车稳步加快时，速度的变化率是每分钟10英里每小时。在任何时间点，每分钟10英里每小时都是正确的。在时间2分钟的时候，变化率为每分钟10英里每小时。在4分钟时，在100分钟时，这都是正确的。

在曲线图中，我们可以应用相同的思路吗？当然可以——但是，此处，让我们慢慢理解这一点。