Question

为了更加准确地描述变量之间的线性相关程度，可以通过计算相关系数来进行相关分析。在二元变量的相关分析过程中比较常用的有Pearson相关系数、Spearman秩相关系数和判定系数。

（1）Pearson相关系数

一般用于分析两个连续性变量之间的关系，其计算公式如下。

相关系数r的取值范围：-1≤r≤1

0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：

（2）Spearman秩相关系数

Pearson线性相关系数要求连续变量的取值服从正态分布。不服从正态分布的变量、分类或等级变量之间的关联性可采用Spearman秩相关系数，也称等级相关系数来描述。

其计算公式如下。

对两个变量成对的取值分别按照从小到大（或者从大到大小）顺序编秩，R_i代表x_i的秩次，Q_i代表y_i的秩次，R_i-Q_i为x_i、y_i的秩次之差。

表3-6给出一个变量x（x₁，x₂，…x_i，…x_n）秩次的计算过程。

表3-6　变量x秩次计算过程

因为一个变量的相同的取值必须有相同的秩次，所以在计算中采用的秩次是排序后所在位置的平均值。

只要两个变量具有严格单调的函数关系，那么它们就是完全Spearman相关的，这与Pearson相关不同，Pearson相关只有在变量具有线性关系时才是完全相关的。

在实际应用计算中，上述两种相关系数都要对其进行假设检验，使用t检验方法检验其显著性水平以确定其相关程度。研究表明，在正态分布假定下，Spearman秩相关系数与Pearson相关系数在效率上是等价的，而对于连续测量数据，更适合用Pearson相关系数来进行分析。

（3）判定系数

判定系数是相关系数的平方，用r²表示；用来衡量回归方程对y的解释程度。判定系数取值范围：0≤r²≤1。r²越接近于1，表明x与y之间的相关性越强；r²越接近于0，表明两个变量之间几乎没有直线相关关系。

餐饮系统中可以统计得到不同菜品的日销量数据，数据示例如表3-7所示。

表3-7　菜品日销量数据

数据详见：demo/data/catering_sale_all.xls

分析这些菜品销售量之间的相关性可以得到不同菜品之间的关系，比如是替补菜品、互补菜品或者没有关系，为原材料采购提供参考。其Python代码如代码清单3-4所示。

代码清单3-4　餐饮销量数据相关性分析

#-*- coding: utf-8 -*-
#餐饮销量数据相关性分析
from __future__ import print_function
import pandas as pd
catering_sale = '../data/catering_sale_all.xls' #餐饮数据，含有其他属性
data = pd.read_excel(catering_sale, index_col = u'日期') #读取数据，指定“日期”列为索引列
data.corr() #相关系数矩阵，即给出了任意两款菜式之间的相关系数
data.corr()[u'百合酱蒸凤爪'] #只显示“百合酱蒸凤爪”与其他菜式的相关系数
data[u'百合酱蒸凤爪'].corr(data[u'翡翠蒸香茜饺']) #计算“百合酱蒸凤爪”与“翡翠蒸香茜饺”的
    相关系数

代码详见：demo/code/correlation_analyze.py

上面的代码给出了3种不同形式的求相关系数的运算。运行代码，可以得到任意两款菜式之间的相关系数，如运行“data.corr（）[u'百合酱蒸凤爪']”可以得到下面的结果。

>>> data.corr()[u'百合酱蒸凤爪']百合酱蒸凤爪     1.000000翡翠蒸香茜饺     0.009206金银蒜汁蒸排骨    0.016799乐膳真味鸡      0.455638蜜汁焗餐包      0.098085生炒菜心       0.308496铁板酸菜豆腐     0.204898香煎韭菜饺      0.127448香煎萝卜糕     -0.090276原汁原味菜心     0.428316
Name: 百合酱蒸凤爪, dtype: float64

从上面的结果可以看到，如果顾客点了“百合酱蒸凤爪”，则和点“翡翠蒸香茜饺”“金银蒜汁蒸排骨”“香煎萝卜糕”“铁板酸菜豆腐”“香煎韭菜饺”等主食类的相关性比较低，反而点“乐膳真味鸡”“生炒菜心”“原汁原味菜心”的相关性比较高。