Question

题目：输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1 的数字有1，10，11和12，1一共出现了5次。

不考虑时间效率的解法，靠它想拿Offer有点难

如果在面试的时候碰到这个问题，应聘者大多能想到最直观的方法，也就是累加1到n中每个整数1出现的次数。我们可以每次通过对10求余数判断整数的个位数字是不是1。如果这个数字大于10，除以10之后再判断个位数字是不是1。基于这个思路，我们不难写出如下代码：

在上述思路中，我们对每个数字都要做除法和求余运算以求出该数字中1出现的次数。如果输入数字n，n有O（logn）位，我们需要判断每一位是不是1，那么它的时间复杂度是O（n^*logn）。当输入n非常大的时候，需要大量的计算，运算效率不高。面试官不会满意这种算法，我们仍然需要努力。

从数字规律着手明显提高时间效率的解法，能让面试官耳目一新

如果希望不用计算每个数字的1的个数，那就只能去寻找1在数字中出现的规律了。为了找到规律，我们不妨用一个稍微大一点的数字比如21345作为例子来分析。我们把从1到21345的所有数字分为两段，一段是从1到1345，另一段是从1346到21345。

我们先看从1346到21345中1出现的次数。1的出现分为两种情况。首先分析1出现在最高位（本例中是万位）的情况。从1346到21345的数字中，1出现在10000～19999这10000个数字的万位中，一共出现了10000（10⁴）个。

值得注意的是，并不是对所有5位数而言在万位出现的次数都是10000个。对于万位是1的数字比如输入12345，1只出现在10000～12345的万位，出现的次数不是10⁴次，而是2346次，也就是除去最高数字之后剩下的数字再加上1（即2345＋1=2346次）。

接下来分析1出现在除最高位之外的其他四位数中的情况。例子中1346～21345这20000个数字中后4位中1出现的次数是2000次。由于最高位是2，我们可以再把1346～21345分成两段，1346～11345和11346～21345。每一段剩下的4位数字中，选择其中一位是1，其余三位可以在0～9这10个数字中任意选择，因此根据排列组合原则，总共出现的次数是2×10³=2000次。

至于从1到1345中1出现的次数，我们就可以用递归求得了。这也是我们为什么要把1～21345分成1～1345和1346～21345两段的原因。因为把21345的最高位去掉就变成1345，便于我们采用递归的思路。

基于前面的分析，我们可以写出如下代码（为了编程方便，我们先把数字转换成字符串）：

这种思路是每次去掉最高位做递归，递归的次数和位数相同。一个数字n有O（logn）位，因此这种思路的时间复杂度是O（logn），比前面的原始方法要好很多。

源代码：

本题完整的源代码详见32_NumberOf1项目。

测试用例：

- 功能测试（输入5、10、55、99等）。

- 边界值测试（输入0、1等）。

- 性能测试（输入较大的数字如10000、21235等）。

本题考点：

- 考查应聘者做优化的激情和能力。最原始的方法大部分应聘者都能想到。当面试官提示还有更快的方法之后，应聘者千万不要轻易放弃尝试。虽然想出O（logn）的方法不容易，但应聘者要展示自己追求更快算法的激情，多尝试不同的方法，必要的时候可以要求面试官给出提示，但不能轻易说自己想不出来并且放弃努力。

- 考查面应聘者对复杂问题的思维能力。要想找到O（logn）的方法，应聘者需要有很严密的数学思维能力，并且还要通过分析具体例子一步步找到通用的规律。这些能力在实际工作中面对复杂问题的时候都非常有用。