Question

1043. 分隔数组以得到最大和

English Version

题目描述

给你一个整数数组 arr，请你将该数组分隔为长度 最多 为 k 的一些（连续）子数组。分隔完成后，每个子数组的中的所有值都会变为该子数组中的最大值。

返回将数组分隔变换后能够得到的元素最大和。本题所用到的测试用例会确保答案是一个 32 位整数。

 

示例 1：

输入：arr = [1,15,7,9,2,5,10], k = 3
输出：84
解释：数组变为 [15,15,15,9,10,10,10]

示例 2：

输入：arr = [1,4,1,5,7,3,6,1,9,9,3], k = 4
输出：83

示例 3：

输入：arr = [1], k = 1
输出：1

 

提示：

• 1 <= arr.length <= 500
• 0 <= arr[i] <= 109
• 1 <= k <= arr.length

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i]$ 表示将数组的前 $i$ 个元素分隔成若干个子数组，最终的最大元素和。初始时 $f[i]=0$，答案为 $f[n]$。

我们考虑如何计算 $f[i]$，其中 $i \geq 1$。

对于 $f[i]$，它的最后一个元素是 $arr[i-1]$。由于每个子数组的长度最多为 $k$，并且我们需要求得子数组中的最大值，因此，我们可以从右往左枚举最后一个子数组的第一个元素 $arr[j - 1]$，其中 $\max(0, i - k) \lt j \leq i$，过程中维护一个变量 $mx$，表示最后一个子数组中的最大值，那么状态转移方程为：

$$ f[i] = \max{f[i], f[j - 1] + mx \times (i - j + 1)} $$

最终的答案即为 $f[n]$。

时间复杂度 $O(n \times k)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组 $arr$ 的长度。

class Solution:
  def maxSumAfterPartitioning(self, arr: List[int], k: int) -> int:
    n = len(arr)
    f = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
      mx = 0
      for j in range(i, max(0, i - k), -1):
        mx = max(mx, arr[j - 1])
        f[i] = max(f[i], f[j - 1] + mx * (i - j + 1))
    return f[n]

class Solution {
  public int maxSumAfterPartitioning(int[] arr, int k) {
    int n = arr.length;
    int[] f = new int[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      int mx = 0;
      for (int j = i; j > Math.max(0, i - k); --j) {
        mx = Math.max(mx, arr[j - 1]);
        f[i] = Math.max(f[i], f[j - 1] + mx * (i - j + 1));
      }
    }
    return f[n];
  }
}

class Solution {
public:
  int maxSumAfterPartitioning(vector<int>& arr, int k) {
    int n = arr.size();
    int f[n + 1];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      int mx = 0;
      for (int j = i; j > max(0, i - k); --j) {
        mx = max(mx, arr[j - 1]);
        f[i] = max(f[i], f[j - 1] + mx * (i - j + 1));
      }
    }
    return f[n];
  }
};

func maxSumAfterPartitioning(arr []int, k int) int {
  n := len(arr)
  f := make([]int, n+1)
  for i := 1; i <= n; i++ {
    mx := 0
    for j := i; j > max(0, i-k); j-- {
      mx = max(mx, arr[j-1])
      f[i] = max(f[i], f[j-1]+mx*(i-j+1))
    }
  }
  return f[n]
}

function maxSumAfterPartitioning(arr: number[], k: number): number {
  const n: number = arr.length;
  const f: number[] = new Array(n + 1).fill(0);
  for (let i = 1; i <= n; ++i) {
    let mx: number = 0;
    for (let j = i; j > Math.max(0, i - k); --j) {
      mx = Math.max(mx, arr[j - 1]);
      f[i] = Math.max(f[i], f[j - 1] + mx * (i - j + 1));
    }
  }
  return f[n];
}