Question

核心：快排是一种采用分治思想的排序算法，大致分为三个步骤。

1. 定基准——首先随机选择一个元素最为基准
2. 划分区——所有比基准小的元素置于基准左侧，比基准大的元素置于右侧
3. 递归调用——递归地调用此切分过程

out-in-place - 非原地快排

容易实现和理解的一个方法是采用递归，使用 Python 的 list comprehension 实现如下所示：

#!/usr/bin/env python


def qsort1(alist):
  print(alist)
  if len(alist) <= 1:
    return alist
  else:
    pivot = alist[0]
    return qsort1([x for x in alist[1:] if x < pivot]) + \
         [pivot] + \
         qsort1([x for x in alist[1:] if x >= pivot])

unsortedArray = [6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4]
print(qsort1(unsortedArray))

输出如下所示：

[6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4]
[5, 3, 1, 2, 4]
[3, 1, 2, 4]
[1, 2]
[]
[2]
[4]
[]
[8, 7]
[7]
[]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

『递归 + 非原地排序』的实现虽然简单易懂，但是如此一来『快速排序』便不再是最快的通用排序算法了，因为递归调用过程中非原地排序需要生成新数组，空间复杂度颇高。list comprehension 大法虽然好写，但是用在『快速排序』算法上就不是那么可取了。

复杂度分析

在最好情况下，快速排序的基准元素正好是整个数组的中位数，可以近似为二分，那么最好情况下递归的层数为 logn\log nlogn, 咋看一下每一层的元素个数都是 nnn, 那么空间复杂度为 O(n)O(n)O(n) 无疑了，不过这只答对了一半，从结论上来看是对的，但分析方法是错的。

首先来看看什么叫空间复杂度——简单来讲可以认为是程序在运行过程中所占用的存储空间大小。那么对于递归的 out-in-place 调用而言，排除函数调用等栈空间， 最好情况下，每往下递归调用一层，所需要的存储空间是上一层中的一半。完成最底层的调用后即向上返回执行出栈操作，故并不需要保存每层所有元素的值。 所以需要的总的存储空间就是 ∑i=0n2i=2n\sum _{i=0} ^{} \frac {n}{2^i} = 2n∑i=02in=2n

不是特别理解的可以结合下图的非严格分析和上面 Python 的代码，递归调用的第一层保存 8 个元素的值，那么第二层调用时实际需要保存的其实仅为 4 个元素，逐层往下递归，而不是自左向右保存每一层的所有元素。

那么在最坏情况下 out-in-place 需要耗费多少额外空间呢？最坏情况下第 iii 层需要 i−1i - 1i−1 次交换，故总的空间复杂度：

∑i=0n(n−i+1)=O(n2)\sum_{i=0}^n (n-i+1) = O(n^2)∑i=0n(n−i+1)=O(n2)

in-place - 原地快排

one index for partition

先来看一种简单的 in-place 实现，仍然以 [6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4] 为例，结合下图进行分析。以下标 lll 和 uuu 表示数组待排序部分的下界(lower bound) 和上界(upper bound)，下标 mmm 表示遍历到数组第 iii 个元素时当前 partition 的索引，基准元素为 ttt, 即图中的 target.

在遍历到第 iii 个元素时，x[i]x[i]x[i] 有两种可能，第一种是 x[i]≥tx[i] \geq tx[i]≥t, iii 自增往后遍历；第二种是 x[i]<tx[i] < tx[i]<t, 此时需要将 x[i]x[i]x[i] 置于前半部分，比较简单的实现为 swap(x[++m], x[i]) . 直至 i == u 时划分阶段结束，分两截递归进行快排。既然说到递归，就不得不提递归的终止条件，容易想到递归的终止步为 l >= u , 即索引相等或者交叉时退出。使用 Python 的实现如下所示：

Python

#!/usr/bin/env python


def qsort2(alist, l, u):
  print(alist)
  if l >= u:
    return

  m = l
  for i in xrange(l + 1, u + 1):
    if alist[i] < alist[l]:
      m += 1
      alist[m], alist[i] = alist[i], alist[m]
  # swap between m and l after partition, important!
  alist[m], alist[l] = alist[l], alist[m]
  qsort2(alist, l, m - 1)
  qsort2(alist, m + 1, u)

unsortedArray = [6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4]
print(qsort2(unsortedArray, 0, len(unsortedArray) - 1))

Java

public class Sort {
  public static void main(String[] args) {
    int unsortedArray[] = new int[]{6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4};
    quickSort(unsortedArray);
    System.out.println("After sort: ");
    for (int item : unsortedArray) {
      System.out.print(item + " ");
    }
  }

  public static void quickSort1(int[] array, int l, int u) {
    for (int item : array) {
      System.out.print(item + " ");
    }
    System.out.println();

    if (l >= u) return;
    int m = l;
    for (int i = l + 1; i <= u; i++) {
      if (array[i] < array[l]) {
        m += 1;
        int temp = array[m];
        array[m] = array[i];
        array[i] = temp;
      }
    }
    // swap between array[m] and array[l]
    // put pivot in the mid
    int temp = array[m];
    array[m] = array[l];
    array[l] = temp;

    quickSort1(array, l, m - 1);
    quickSort1(array, m + 1, u);
  }

  public static void quickSort(int[] array) {
    quickSort1(array, 0, array.length - 1);
  }
}

容易出错的地方在于当前 partition 结束时未将 iii 和 mmm 交换。比较 alist[i] 和 alist[l] 时只能使用 < 而不是 <= ! 因为只有取 < 才能进入收敛条件， <= 则可能会出现死循环，因为在 = 时第一个元素可能保持不变进而产生死循环。

相应的结果输出为：

[6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4]
[4, 5, 3, 1, 2, 6, 8, 7]
[2, 3, 1, 4, 5, 6, 8, 7]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 7]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 7]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 7]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 7]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

Two-way partitioning

对于仅使用一个索引进行 partition 操作的快排对于随机分布数列的效果还是不错的，但若数组本身就已经有序或者相等的情况下，每次划分仅能确定一个元素的最终位置，故最坏情况下的时间复杂度变为 O(n2)O(n^2)O(n2). 那么有什么办法尽可能避免这种最坏情况吗？聪明的人类总是能找到更好地解决办法——使用两个索引分别向右向左进行 partition.

先来一张动图看看使用两个索引进行 partition 的过程。

1. 选中 3 作为基准
2. lo 指针指向元素 6 , hi 指针指向 4 , 移动 lo 直至其指向的元素大于等于 3 , 移动 hi 直至其指向的元素小于 3 。找到后交换 lo 和 hi 指向的元素——交换元素 6 和 2 。
3. lo 递增， hi 递减，重复步骤 2，此时 lo 指向元素为 5 , hi 指向元素为 1 . 交换元素。
4. lo 递增， hi 递减，发现其指向元素相同，此轮划分结束。递归排序元素 3 左右两边的元素。

对上述过程进行适当的抽象：

1. 下标 iii 和 jjj 初始化为待排序数组的两端。
2. 基准元素设置为数组的第一个元素。
3. 执行 partition 操作，大循环内包含两个内循环：
   • 左侧内循环自增 iii, 直到遇到 不小于 基准元素的值为止。
   • 右侧内循环自减 jjj, 直到遇到 小于 基准元素的值为止。
4. 大循环测试两个下标是否相等或交叉，交换其值。

这样一来对于数组元素均相等的情形下，每次 partition 恰好在中间元素，故共递归调用 logn\log nlogn 次，每层递归调用进行 partition 操作的比较次数总和近似为 nnn. 故总计需 nlognn \log nnlogn 次比较。^{programming_pearls}

Python

#!/usr/bin/env python


def qsort3(alist, lower, upper):
  print(alist)
  if lower >= upper:
    return

  pivot = alist[lower]
  left, right = lower + 1, upper
  while left <= right:
    while left <= right and alist[left] < pivot:
      left += 1
    while left <= right and alist[right] >= pivot:
      right -= 1
    if left > right:
      break
    # swap while left <= right
    alist[left], alist[right] = alist[right], alist[left]
  # swap the smaller with pivot
  alist[lower], alist[right] = alist[right], alist[lower]

  qsort3(alist, lower, right - 1)
  qsort3(alist, right + 1, upper)

unsortedArray = [6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4]
print(qsort3(unsortedArray, 0, len(unsortedArray) - 1))

Java

public class Sort {
  public static void main(String[] args) {
    int unsortedArray[] = new int[]{6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4};
    quickSort(unsortedArray);
    System.out.println("After sort: ");
    for (int item : unsortedArray) {
      System.out.print(item + " ");
    }
  }

  public static void quickSort2(int[] array, int l, int u) {
    for (int item : array) {
      System.out.print(item + " ");
    }
    System.out.println();

    if (l >= u) return;
    int pivot = array[l];
    int left = l + 1;
    int right = u;
    while (left <= right) {
      while (left <= right && array[left] < pivot) {
        left++;
      }
      while (left <= right && array[right] >= pivot) {
        right--;
      }
      if (left > right) break;
      // swap array[left] with array[right] while left <= right
      int temp = array[left];
      array[left] = array[right];
      array[right] = temp;
    }
    /* swap the smaller with pivot */
    int temp = array[right];
    array[right] = array[l];
    array[l] = temp;

    quickSort2(array, l, right - 1);
    quickSort2(array, right + 1, u);
  }

  public static void quickSort(int[] array) {
    quickSort2(array, 0, array.length - 1);
  }
}

相应的输出为：

[6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4]
[2, 5, 3, 1, 4, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

从以上 3 种快排的实现我们可以发现其与『归并排序』的区别主要有如下两点：

1. 归并排序将数组分成两个子数组分别排序，并将有序的子数组归并以将整个数组排序。递归调用发生在处理整个数组之前。
2. 快速排序将一个数组分成两个子数组并对这两个子数组独立地排序，两个子数组有序时整个数组也就有序了。递归调用发生在处理整个数组之后。

Robert Sedgewick 在其网站上对 Quicksort 做了较为完整的介绍，建议去围观下。

Reference

• 快速排序 - 维基百科，自由的百科全书
• Quicksort | Robert Sedgewick
• Programming Pearls Column 11 Sorting - 深入探讨了插入排序和快速排序
• Quicksort Analysis

• ^{programming_pearls}. Programming Pearls(第二版修订版) 一书中第 11 章排序中注明需要 nlog2nn\log2nnlog2n 次比较，翻译有误？ ↩