Question

我们前面说过，微积分探讨的是以精确的数学方式，理解事物如何变化。让我们来看看，我们是否能够将这种逐步缩小Δx的想法应用到定义这些事物的数学表达式中——如汽车速度曲线。

我们知道速度是时间的函数，即s = t² 。我们希望知道作为时间的函数，速度是如何变化的。当绘制关于t的曲线时，我们已经看到这是s的斜率。

变化率∂s / ∂t等于我们所构造直线的高度除以宽度，但是，其中Δx无限小。

高度是什么？正如我们先前看到的，这是(t + Δx)² -(t -Δx)² 。也就是根据公式s = t² ，其中t为所感兴趣的点上下偏移Δx，算出对应的s，相减得到。

宽度是什么？正如我们先前所看到的，简单说来，这只是(t + Δx)和(t - Δx)之间的距离，也就是2Δx。

我们就快到达目标了，

让我们展开并简化表达式

实际上，我们很幸运，代数本身已经简化得非常灵巧了。

我们已经到达目标了！在数学上，精确的变化率为∂s / ∂t = 2t。这意味着，对于任何时间t，我们知道速度的变化率为∂s / ∂t = 2t。

在t = 3分钟处，我们有∂s / ∂t = 2t = 6。在使用近似方法之前，我们事实上确认过这个值。在t = 6分钟处，∂s / ∂t = 2t = 12，这非常准确地符合了我们之前发现的值。

在t= 100分钟处，这个值是多少呢？∂s / ∂t = 2t = 每分钟200英里每小时。这意味着，在100分钟后，汽车的加速度达到每分钟200英里每小时。

让我们花点时间，思考一下，刚才做的事情有多么的重要，多么的酷炫！我们得到了一个数学表达式，这个表达式允许我们精确地知道，在任何一个时间点汽车速度的变化率。根据先前的讨论，我们可以发现变化率确实随着时间而定。

我们很幸运，代数简化得很精巧，但是简单的s = t² 并没有给我们一个尝试的机会，让我们能够有目的地缩小Δx。因此，试一试另一个示例，在这个示例中，汽车的速度有点复杂。

现在，高度是什么呢？这是在t+Δx处和t-Δx处所计算得到的s的差。

即，高度为（t +Δx）² + 2（t +Δx）-（t -Δx）² - 2（t -Δx）。

宽度是什么？这就是（t +Δx）和（t -Δx）之间的距离，依然为2Δx。

展开并简化表达式

这是一个重要的结果！可悲的是，代数再次将其简化得有一点太过容易了。这里有一个稍后将谈到的模式，因此，我们不费吹灰之力就得到了结果。

让我们尝试另一个示例，这个示例不会太过复杂。我们将汽车的速度设置为时间的三次方。

展开并简化表达式

现在，事情变得更有趣了！我们得到了一个结果，这个结果中包含了Δx，而在之前，表达式中的Δx都互相抵消了。

那么，请记住，只有Δx越来越小，变得无限小时，梯度值才正确。

这是最酷炫的地方！当Δx越来越小的时候，在表达式∂s / ∂t = 3t² + Δx² 中的Δx会发生什么事情呢？它消失了！如果这听起来令你吃惊，那么请将Δx想象为非常小非常小的一个值。你可以尝试想到一个较小的一个值，然后是一个更小的值……你可以一直这样找下去，使得Δx越来越接近于0。因此，就让我们直接将它当为0，避免这所有的麻烦。

这就得到了一直在寻找的数学上的精确答案：

这是一个奇妙的结果，这次，我们使用强大的数学工具来进行微积分，并且这一点都不困难。