Question

术语广播描述了在算术运算期间，如何处理不同形状的数组。 Numpy 首先使用广播一词，但现在用于其他库，如 Tensorflow 和 Matlab；规则因库而异。

来自 Numpy 文档：

广播提供了一种向量化数组操作的方法，使循环在 C 而不是 Python 中出现。 它可以不制作不必要的数据副本而实现，并且通常可以产生高效实现。最简单的广播示例在数组乘以标量时发生。

a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
b = 2.0
a * b

# array([ 2.,  4.,  6.])

v=np.array([1,2,3])
print(v, v.shape)

# [1 2 3] (3,)

m=np.array([v,v*2,v*3]); m, m.shape

'''
(array([[1, 2, 3],
        [2, 4, 6],
        [3, 6, 9]]), (3, 3))
'''

n = np.array([m*1, m*5])

n

'''
array([[[ 1,  2,  3],
        [ 2,  4,  6],
        [ 3,  6,  9]],

       [[ 5, 10, 15],
        [10, 20, 30],
        [15, 30, 45]]])
'''

n.shape, m.shape

# ((2, 3, 3), (3, 3))

我们可以使用广播来将矩阵和数组相加：

m+v

'''
array([[ 2,  4,  6],
       [ 3,  6,  9],
       [ 4,  8, 12]])
'''

注意如果我们转置数组会发生什么：

v1=np.expand_dims(v,-1); v1, v1.shape

'''
(array([[1],
        [2],
        [3]]), (3, 1))
'''

m+v1

'''
array([[ 2,  3,  4],
       [ 4,  6,  8],
       [ 6,  9, 12]])
'''

通用的 NumPy 广播规则

操作两个数组时，NumPy 会逐元素地比较它们的形状。 它从最后的维度开始，并向前移动。 如果满足：

• 他们是相等的，或者
• 其中一个是 1

两个维度兼容。

数组不需要具有相同数量的维度。 例如，如果你有一个 256×256×3 的 RGB 值数组，并且你希望将图像中的每种颜色缩放不同的值，则可以将图像乘以具有 3 个值的一维数组。 根据广播规则排列这些数组的尾部轴的大小，表明它们是兼容的：

Image  (3d array): 256 x 256 x 3
Scale  (1d array):             3
Result (3d array): 256 x 256 x 3

回顾

v = np.array([1,2,3,4])
m = np.array([v,v*2,v*3])
A = np.array([5*m, -1*m])

v.shape, m.shape, A.shape

# ((4,), (3, 4), (2, 3, 4))

下列操作有效嘛？

A

A + v

A.T + v

A.T.shape

（SciPy 中的）稀疏矩阵

具有大量零的矩阵称为稀疏（稀疏是密集的反义）。 对于稀疏矩阵，仅仅存储非零值，可以节省大量内存。

另一个大型稀疏矩阵的例子：

来源

这是最常见的稀疏存储格式：

• 逐坐标（scipy 称 COO）
• 压缩稀疏行（CSR）
• 压缩稀疏列（CSC）

让我们来看看 这些例子 。

实际上还有 更多格式 。

如果非零元素的数量与行（或列）的数量成比例而不是与行列的乘积成比例，则通常将一类矩阵（例如，对角）称为稀疏。

Scipy 实现

来自 Scipy 稀疏矩阵文档

• 为了有效地构造矩阵，请使用 dok_matrix 或 lil_matrix 。 lil_matrix 类支持基本切片和花式索引，其语法与 NumPy 数组类似。 如下所示，COO 格式也可用于有效地构造矩阵
• 要执行乘法或求逆等操作，首先要将矩阵转换为 CSC 或 CSR 格式。
• CSR，CSC 和 COO 格式之间的所有转换都是高效的线性时间操作。

今天：CT 扫描

引言

“ 数学真的可以拯救你的生命吗？当然可以！！ ” （可爱的文章）

（CAT 和 CT 扫描指代相同的过程。CT 扫描是更现代的术语）

本课程基于 Scikit-Learn 示例 压缩感知：使用 L1 先验的层析成像重建（Lasso） 。

我们今天的目标

读取 CT 扫描的结果并构建原始图像。

对于（特定位置和特定角度的）每个 X 射线，我们进行单次测量。 我们需要从这些测量中构建原始图像。 此外，我们不希望患者经历大量辐射，因此我们收集的数据少于图片区域。

我们会看到：

来源： 压缩感知

来源

导入

%matplotlib inline
import numpy as np, matplotlib.pyplot as plt, math
from scipy import ndimage, sparse

np.set_printoptions(suppress=True)