Question

1. scipy的integrate模块提供了集中数值积分算法，其中包括对常微分方程组ODE的数值积分。

1. 积分

1. 数值积分函数：

   
   xxxxxxxxxx
   scipy.integrate.quad(func, a, b, args=(), full_output=0, epsabs=1.49e-08, 
     epsrel=1.49e-08, limit=50, points=None, weight=None, wvar=None,
     wopts=None, maxp1=50, limlst=50)

   • func：一个Python函数对象，代表被积分的函数。如果它带有多个参数，则积分只在第一个参数上进行。其他参数，则由args提供
   • a：积分下限。用-numpy.inf代表负无穷
   • b：积分上限。用numpy.inf代表正无穷
   • args：额外传递的参数给func
   • full_output：如果非零，则通过字典返回更多的信息
   • 其他参数控制了积分的细节。参考官方手册

   返回值：

   • y：一个浮点标量值，表示积分结果
   • abserr：一个浮点数，表示绝对误差的估计值
   • infodict：一个字典，包含额外的信息

   

2. 多重定积分可以通过多次调用quad()实现。为了调用方便，integrate模块提供了dblquad()计算二重定积分，提供了tplquad()计算三重定积分。

3. 二重定积分：

   
   xxxxxxxxxx
   scipy.integrate.dblquad(func, a, b, gfun, hfun, args=(),
     epsabs=1.49e-08, epsrel=1.49e-08)

   • func：一个Python函数对象，代表被积分的函数。它至少有两个参数：y和x。其中y为第一个参数，x为第二个参数。这两个参数为积分参数。如果有其他参数，则由args提供
   • a：x的积分下限。用-numpy.inf代表负无穷
   • b：x的积分上限。用numpy.inf代表正无穷
   • gfun：y的下边界曲线。它是一个函数或者lambda表达式，参数为x,返回一个浮点数。
   • hfun：y的上界曲线。它是一个函数或者lambda表达式，参数为x,返回一个浮点数。
   • args：额外传递的参数给func
   • epsabs：传递给quad
   • epsrel：传递给quad

   返回值：

   • y：一个浮点标量值，表示积分结果
   • abserr：一个浮点数，表示绝对误差的估计值

   

4. 三重定积分：

   
   xxxxxxxxxx
   scipy.integrate.tplquad(func, a, b, gfun, hfun, qfun, rfun, args=(), 
     epsabs=1.49e-08, epsrel=1.49e-08)

   • func：一个Python函数对象，代表被积分的函数。它至少有三个参数：z、y和x。其中z为第一个参数，y为第二个参数，x为第三个参数。这三个参数为积分参数。如果有其他参数，则由args提供
   • a：x的积分下限。用-numpy.inf代表负无穷
   • b：x的积分上限。用numpy.inf代表正无穷
   • gfun：y的下边界曲线。它是一个函数或者lambda表达式，参数为x,返回一个浮点数。
   • hfun：y的上界曲线。它是一个函数或者lambda表达式，参数为x,返回一个浮点数。
   • qfun：z的下边界曲面。它是一个函数或者lambda表达式，第一个参数为x，第二个参数为y，返回一个浮点数。
   • rfun：z的上边界曲面。它是一个函数或者lambda表达式，第一个参数为x，第二个参数为y，返回一个浮点数。
   • args：额外传递的参数给func
   • epsabs：传递给quad
   • epsrel：传递给quad

   返回值：

   • y：一个浮点标量值，表示积分结果
   • abserr：一个浮点数，表示绝对误差的估计值

2. 求解常微分方程组

1. 求解常微分方程组用：

   
   xxxxxxxxxx
   scipy.integrate.odeint(func, y0, t, args=(), Dfun=None, col_deriv=0, full_output=0, 
     ml=None, mu=None, rtol=None, atol=None, tcrit=None, h0=0.0, hmax=0.0, 
     hmin=0.0, ixpr=0, mxstep=0, mxhnil=0, mxordn=12, mxords=5, printmessg=0)

   • func：梯度函数。第一个参数为y，第二个参数为t0，即计算t0时刻的梯度。其他的参数由args提供
   • y0：初始的y
   • t：一个时间点序列。
   • args：额外提供给func的参数。
   • Dfun：func的雅可比矩阵，行优先
   • col_deriv：一个布尔值。如果Dfun未给出，则算法自动推导。该参数决定了自动推导的方式
   • full_output：如果True，则通过字典返回更多的信息
   • printmessg：布尔值。如果为True，则打印收敛信息
   • 其他参数用于控制求解的细节

   返回值：

   • y：一个数组，形状为 (len(t),len(y0)。它给出了每个时刻的y值
   • infodict：一个字典，包含额外的信息