Question

具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR（p）。

即在t时刻的随机变量X_t的取值x_t是前p期x_t-1，x_t-2，…，x_t-p的多元线性回归，认为x_t主要是受过去p期的序列值的影响。误差项是当期的随机干扰ε_t，为零均值白噪声序列。

平稳AR模型的性质见表5-21。

表5-21　平稳AR模型的性质

（1）均值

对满足平稳性条件的AR（p）模型的方程，两边取期望，得：

已知E（x_t）=，E（ε_t）=0，所以有=φ₀+φ₁μ+φ₂μ+…+φ_pμ，

解得：

（2）方差

平稳AR（p）模型的方差有界，等于常数。

（3）自相关系数（ACF）

平稳AR（p）模型的自相关系数ρ_k=ρ（t，t-k）=呈指数的速度衰减，始终有非零取值，不会在k大于某个常数之后就恒等于零，这个性质就是平稳AR（p）模型的自相关系数ρ_k具有拖尾性。

（4）偏自相关系数（PACF）

对于一个平稳AR（p）模型，求出延迟k期自相关系数ρ_k时，实际上的得到的并不是X_t与X_t-k之间单纯的相关关系，因为X_t同时还会受到中间k-1个随机变量X_t-1，X_t-2，…，X_t-k的影响，所以自相关系数ρ_k里实际上掺杂了其他变量对X_t与X_t-k的相关影响，为了单纯地测度X_t-k对X_t的影响，引进偏自相关系数的概念。

可以证明平稳AR（p）模型的偏自相关系数具有p阶截尾性。这个性质连同前面的自相关系数的拖尾性是AR（p）模型重要的识别依据。