Question

基于以上知识，我们可以看到如之前所定义的矩阵-矩阵乘法 C=AB 有四种不同（但是等价）的理解方法。

首先，我们可以将矩阵-矩阵相乘看作一组 向量-向量乘积 。根据其概念，我们最好理解的方式是 矩阵 C 的 ( i，j ) 元素是 A 的 i 行与 B 的 j 列的内积。符号表达如下：

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注意由于 A ∈ R ^{m × n} ， B ∈ R ^{n × p} ， a_i ∈ R ⁿ b_j ∈ R ⁿ ， 所以内积永远有意义。对矩阵乘法而言，以 A 的行和 B 的列表示是最"自然"的表示方法。当然，我们也可以以 A 的列和 B 的行的形式进行表示。表达方法是 AB 外积累加的形式，稍微复杂一点点。符号表达为：

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换一种方式表达，AB 的值等于对于所有的 i，A 的 i 列与 B 的 i 行的外积的和。因此，对于 a_i ∈ R^m 和 b_i ∈ R^p，外积 a_ib_i^T的维度是 m×p，它与 C 的维度是相同的。等式可能有点难理解，花点时间想想，我猜你肯定能明白。

第二种理解方式是，我们也可将向量-向量乘法看做一系列的 矩阵-向量 乘积。具体来说，如果我们将 B 以列的形式表示，我们可以将 C 的每一列看做 A 和 B 列的矩阵-向量乘积。符号表达为：

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可以将 C 的 i 列以矩阵-向量乘积（向量在右）的方式表示为 c_i = Ab_i . 这些矩阵-向量乘积可以用前面的两种观点解释。最后类比一下，我们以 A 的行形式表示，将 C 的行视为 A 的行与 C 的矩阵-向量乘积，符号表达为

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在此，我们以矩阵-向量乘积（向量左乘）的形式表示了 C 的 i 列，

只是一个矩阵乘法而已，这么细的分析看上去好像没有必要，尤其是当我们知道矩阵乘法定义后其实很容易可以计算得到结果。然而，几乎所有的线性代数内容都在处理某种类型的矩阵乘法，因此花一些时间去形成对这些结论的直观认识还是很有帮助的。

此外，知道一些更高层次的矩阵乘法的基本性质也是有好处的：

• 结合律即( AB ) C = A ( BC )
• 分配率即 A ( B + C ) = AB + AC
• 注意哦，矩阵乘法没有交换律，即 AB ≠ BA .（例如，如果 A ∈ R ^{m × n} 和 B ∈ R ^{n × q} ，矩阵的乘积 BA 在 m 和 q 不等时， BA 可能根本就不存在）

如果你对这些性质不熟悉，最好花些时间自己证明一下。例如，为了验证矩阵乘法的结合律，对于 A ∈ R ^{m × n} ， B ∈ R ^{n × p} ， C ∈ R ^{p × q} ，注意 AB ∈ R ^{m × p} ，而 ( AB ) C ∈ R ^{m × q} 。类似的有 BC ∈ R ^{n × q} ，所以 A ( BC) ∈ R^m×q 。因此可以得到维度相同的矩阵。为了说明矩阵乘法符合结合律，证明(AB)C 第(i,j) 个元素是否与 A(BC) 的(i,j) 个元素相等就够了。我们可以直接运用矩阵乘法的定义进行证明。

上面的推导过程中，第一个和最后两个等式使用矩阵乘法的定义，第三和第五的等式使用标量乘法的分配率，第四个等式使用了标量加法的交换律和结合律。这种将运算简化成标量的特性以证明矩阵性质的方法会经常出现，你可以熟悉熟悉它们。