Question

本章描述的简单机器学习算法在很多不同的重要问题上效果都良好，但是它们不能成功解决人工智能中的核心问题，如语音识别或者对象识别。

促使深度学习发展的一部分原因是传统学习算法在这类人工智能问题上泛化能力不足。

本节介绍为何处理高维数据时在新样本上泛化特别困难，以及为何在传统机器学习中实现泛化的机制不适合学习高维空间中复杂的函数。这些空间经常涉及巨大的计算代价，深度学习旨在克服这些以及其他一些难题。

5.11.1　维数灾难

当数据的维数很高时，很多机器学习问题变得相当困难。这种现象被称为维数灾难（curse of dimensionality）。特别值得注意的是，一组变量不同的可能配置数量会随着变量数目的增加而指数级增长。

维数灾难发生在计算机科学的许多地方，在机器学习中尤其如此。

由维数灾难带来的一个挑战是统计挑战。如图5.9所示，统计挑战产生于x的可能配置数目远大于训练样本的数目。为了充分理解这个问题，我们假设输入空间如图所示被分成网格。低维时，我们可以用由数据占据的少量网格去描述这个空间。泛化到新数据点时，通过检测和新输入在相同网格中的训练样本，我们可以判断如何处理新数据点。例如，如果要估计某点x处的概率密度，我们可以返回x处单位体积内训练样本的数目除以训练样本的总数。如果希望对一个样本进行分类，我们可以返回相同网格中训练样本最多的类别。如果是做回归分析，我们可以平均该网格中样本对应的的目标值。但是，如果该网格中没有样本，该怎么办呢？因为在高维空间中参数配置数目远大于样本数目，大部分配置没有相关的样本。我们如何能在这些新配置中找到一些有意义的东西呢？许多传统机器学习算法只是简单地假设在一个新点的输出应大致和最接近的训练点的输出相同。

图5.9　当数据的相关维度增大时（从左向右），我们感兴趣的配置数目会随之指数级增长。（左）在这个一维的例子中，我们用一个变量来区分所感兴趣的仅仅10个区域。当每个区域都有足够的样本数时（图中每个样本对应了一个细胞），学习算法能够轻易地泛化得很好。泛化的一个直接方法是估计目标函数在每个区域的值（可能是在相邻区域之间插值）。（中）在二维情况下，对每个变量区分10个不同的值更加困难。我们需要追踪10×10=100个区域，至少需要很多样本来覆盖所有的区域。（右）三维情况下，区域数量增加到了10³=1000，至少需要那么多的样本。对于需要区分的d维以及ν个值来说，我们需要O(ν^d)个区域和样本。这就是维数灾难的一个示例。感谢由Nicolas Chapados提供的图片

5.11.2　局部不变性和平滑正则化

为了更好地泛化，机器学习算法需要由先验信念引导应该学习什么类型的函数。此前，我们已经看到过由模型参数的概率分布形成的先验。通俗地讲，我们也可以说先验信念直接影响函数本身，而仅仅通过它们对函数的影响来间接改变参数。此外，我们还能通俗地说，先验信念还间接地体现在选择一些偏好某类函数的算法，尽管这些偏好并没有通过我们对不同函数置信程度的概率分布表现出来（也许根本没法表现）。

其中使用最广泛的隐式“先验”是平滑先验（smoothness prior），或局部不变性先验（local constancy prior）。这个先验表明我们学习的函数不应在小区域内发生很大的变化。

许多简单算法完全依赖于此先验达到良好的泛化，其结果是不能推广去解决人工智能级别任务中的统计挑战。本书中，我们将介绍深度学习如何引入额外的（显式或隐式的）先验去降低复杂任务中的泛化误差。这里，我们解释为什么仅依靠平滑先验不足以应对这类任务。

有许多不同的方法来显式或隐式地表示学习函数应该具有光滑或局部不变的先验。所有这些不同的方法都旨在鼓励学习过程能够学习出函数f^∗对于大多数设置x和小变动，都满足条件

换言之，如果我们知道对应输入x的答案（例如，x是个有标签的训练样本），那么该答案对于x的邻域应该也适用。如果在有些邻域中我们有几个好答案，那么我们可以组合它们（通过某种形式的平均或插值法）以产生一个尽可能和大多数输入一致的答案。

局部不变方法的一个极端例子是k-最近邻系列的学习算法。当一个区域里的所有点x在训练集中的k个最近邻是一样的，那么对这些点的预测也是一样的。当k=1时，不同区域的数目不会比训练样本还多。

虽然k-最近邻算法复制了附近训练样本的输出，大部分核机器也是在和附近训练样本相关的训练集输出上插值。一类重要的核函数是局部核（local kernel），其核函数k（u，ν）在u=ν时很大，当u和ν距离拉大时而减小。局部核可以看作执行模板匹配的相似函数，用于度量测试样本x和每个训练样本x⁽ⁱ⁾有多么相似。近年来深度学习的很多推动力源自研究局部模板匹配的局限性，以及深度学习如何克服这些局限性（Bengio et al.，2006a）。

决策树也有平滑学习的局限性，因为它将输入空间分成和叶节点一样多的区间，并在每个区间使用单独的参数（或者有些决策树的拓展有多个参数）。如果目标函数需要至少拥有n个叶节点的树才能精确表示，那么至少需要n个训练样本去拟合。需要几倍于n的样本去达到预测输出上的某种统计置信度。

总的来说，区分输入空间中O(k)个区间，所有的这些方法需要O(k)个样本。通常会有O(k)个参数，O(1)参数对应于O(k)区间之一。最近邻算法中，每个训练样本至多用于定义一个区间，如图5.10所示。

图5.10　最近邻算法如何划分输入空间的示例。每个区域内的一个样本（这里用圆圈表示）定义了区域边界（这里用线表示）。每个样本相关的y值定义了对应区域内所有数据点的输出。由最近邻定义并且匹配几何模式的区域被称为Voronoi图。这些连续区域的数量不会比训练样本的数量增加得更快。尽管此图具体说明了最近邻算法的效果，其他的单纯依赖局部光滑先验的机器学习算法也表现出了类似的泛化能力：每个训练样本仅仅能告诉学习者如何在其周围的相邻区域泛化

有没有什么方法能表示区间数目比训练样本数目还多的复杂函数？显然，只是假设函数的平滑性不能做到这点。例如，想象目标函数作用在西洋跳棋盘上。棋盘包含许多变化，但只有一个简单的结构。想象一下，如果训练样本数目远小于棋盘上的黑白方块数目，那么会发生什么。基于局部泛化和平滑性或局部不变性先验，如果新点和某个训练样本位于相同的棋盘方块中，那么我们能够保证正确地预测新点的颜色。但如果新点所在的方块没有训练样本，学习器不一定能举一反三。如果仅依靠这个先验，一个样本只能告诉我们它所在的方块的颜色。获得整个棋盘颜色的唯一方法是其上的每个方块至少要有一个样本。

只要在要学习的真实函数的峰值和谷值处有足够多的样本，那么平滑性假设和相关的无参数学习算法的效果都非常好。当要学习的函数足够平滑，并且只在少数几维变化时，这样做一般没问题。在高维空间中，即使是非常平滑的函数，也会在不同维度上有不同的变化方式。如果函数在不同的区间中表现不一样，那么就非常难用一组训练样本去刻画函数。如果函数是复杂的（我们想区分多于训练样本数目的大量区间），有希望很好地泛化么？

这些问题，即是否可以有效地表示复杂的函数以及所估计的函数是否可以很好地泛化到新的输入，答案是有的。关键观点是，只要我们通过额外假设生成数据的分布来建立区域间的依赖关系，那么O(k)个样本足以描述多如O(2^k)的大量区间。通过这种方式，我们确实能做到非局部的泛化（Bengio and Monperrus，2005；Bengio et al.，2006b）。为了利用这些优势，许多不同的深度学习算法都提出了一些适用于多种AI任务的隐式或显式的假设。

一些其他的机器学习方法往往会提出更强的、针对特定问题的假设。例如，假设目标函数是周期性的，我们很容易解决棋盘问题。通常，神经网络不会包含这些很强的（针对特定任务的）假设，因此神经网络可以泛化到更广泛的各种结构中。人工智能任务的结构非常复杂，很难限制到简单的、人工手动指定的性质，如周期性，因此我们希望学习算法具有更通用的假设。深度学习的核心思想是假设数据由因素或特征组合产生，这些因素或特征可能来自一个层次结构的多个层级。许多其他类似的通用假设进一步提高了深度学习算法。这些很温和的假设允许了样本数目和可区分区间数目之间的指数增益。这类指数增益将在第6.4.1节、第15.4节和第15.5节中更详尽地介绍。深度的分布式表示带来的指数增益有效地解决了维数灾难带来的挑战。

5.11.3　流形学习

流形是一个机器学习中很多想法内在的重要概念。

流形（manifold）指连接在一起的区域。数学上，它是指一组点，且每个点都有其邻域。给定一个任意的点，其流形局部看起来像是欧几里得空间。日常生活中，我们将地球视为二维平面，但实际上它是三维空间中的球状流形。

每个点周围邻域的定义暗示着存在变换能够从一个位置移动到其邻域位置。例如在地球表面这个流形中，我们可以朝东南西北走。

尽管术语“流形”有正式的数学定义，但是机器学习倾向于更松散地定义一组点，只需要考虑少数嵌入在高维空间中的自由度或维数就能很好地近似。每一维都对应着局部的变化方向。如图5.11所示，训练数据位于二维空间中的一维流形中。在机器学习中，我们允许流形的维数从一个点到另一个点有所变化。这经常发生于流形和自身相交的情况中。例如，数字“8”形状的流形在大多数位置只有一维，但在中心的相交处有两维。

图5.11　从一个二维空间的分布中抽取的数据样本，这些样本实际上聚集在一维流形附近，像一个缠绕的带子。实线代表学习器应该推断的隐式流形

如果我们希望机器学习算法学习整个上有趣变化的函数，那么很多机器学习问题看上去都是无望的。流形学习（manifold learning）算法通过一个假设来克服这个障碍，该假设认为Rⁿ中大部分区域都是无效的输入，有意义的输入只分布在包含少量数据点的子集构成的一组流形中，而学习函数的输出中，有意义的变化都沿着流形的方向或仅发生在我们切换到另一流形时。流形学习最初用于连续数值和无监督学习的环境，尽管这个概率集中的想法也能够泛化到离散数据和监督学习的设定下：关键假设仍然是概率质量高度集中。

数据位于低维流形的假设并不总是对的或者有用的。我们认为在人工智能的一些场景中，如涉及处理图像、声音或者文本时，流形假设至少是近似对的。这个假设的支持证据包含两类观察结果。

第一个支持流形假设（manifold hypothesis）的观察是现实生活中的图像、文本、声音的概率分布都是高度集中的。均匀的噪声从来不会与这类领域的结构化输入类似。图5.12显示均匀采样的点看上去像是没有信号时模拟电视上的静态模式。同样，如果我们均匀地随机抽取字母来生成文件，能有多大的概率得到一个有意义的英语文档？几乎是零。因为大部分字母长序列不对应着自然语言序列：自然语言序列的分布只占了字母序列的总空间里非常小的一部分。

图5.12　随机地均匀抽取图像（根据均匀分布随机地选择每一个像素）会得到噪声图像。尽管在人工智能应用中以这种方式生成一个脸或者其他物体的图像是非零概率的，但是实际上我们从来没有观察到这种现象。这也意味着人工智能应用中遇到的图像在所有图像空间中的占比可以是忽略不计的

当然，集中的概率分布不足以说明数据位于一个相当小的流形中。我们还必须确保，所遇到的样本和其他样本相互连接，每个样本被其他高度相似的样本包围，而这些高度相似的样本可以通过变换来遍历该流形得到。支持流形假设的第二个论点是，我们至少能够非正式地想象这些邻域和变换。在图像中，我们当然会认为有很多可能的变换仍然允许我们描绘出图片空间的流形：我们可以逐渐变暗或变亮光泽、逐步移动或旋转图中对象、逐渐改变对象表面的颜色等。在大多数应用中很有可能会涉及多个流形。例如，人脸图像的流形不太可能连接到猫脸图像的流形。

这些支持流形假设的思维实验传递了一些支持它的直观理由。更严格的实验（Cayton，2005；Narayanan and Mitter，2010；Schölkopf et al.，1998a；Roweis and Saul，2000；Tenenbaum et al.，2000；Brand，2003a；Belkin and Niyogi，2003b；Donoho and Grimes，2003；Weinberger and Saul，2004a）在人工智能备受关注的一大类数据集上支持了这个假设。

当数据位于低维流形中时，使用流形中的坐标而非中的坐标表示机器学习数据更为自然。日常生活中，我们可以认为道路是嵌入在三维空间的一维流形。我们用一维道路中的地址号码确定地址，而非三维空间中的坐标。提取这些流形中的坐标是非常具有挑战性的，但是很有希望改进许多机器学习算法。这个一般性原则能够用在很多情况中。图5.13展示了包含人脸的数据集的流形结构。在本书的最后，我们会介绍一些学习这样的流形结构的必备方法。在图20.6中，我们将看到机器学习算法如何成功完成这个目标。

图5.13　QMUL Multiview Face数据集中的训练样本（Gong et al.，2000），其中的物体是移动的，从而覆盖对应两个旋转角度的二维流形。我们希望学习算法能够发现并且理出这些流形坐标。图20.6提供了这样一个示例

本书第1部分介绍了数学和机器学习中的基本概念，这将用于本书其他章节中。至此，我们已经做好了研究深度学习的准备。

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(1) 除非有理由使用协方差矩阵的特定结构，我们通常假设其为对角协方差矩阵。

第2部分　深度网络：现代实践

本书这一部分总结了现代深度学习用于解决实际应用的现状。

深度学习有着悠久的历史和许多愿景。数种提出的方法尚未完全结出果实，数个雄心勃勃的目标尚未实现。这些较不发达的深度学习分支将出现在本书的最后一部分。

本书的第2部分仅关注那些基本上已在工业中大量使用的技术方法。

现代深度学习为监督学习提供了一个强大的框架。通过添加更多层以及向层内添加更多单元，深度网络可以表示复杂性不断增加的函数。给定足够大的模型和足够大的标注训练数据集，我们可以通过深度学习将输入向量映射到输出向量，完成大多数对人来说能迅速处理的任务。其他任务，比如不能被描述为将一个向量与另一个相关联的任务，或者对于一个人来说足够困难并需要时间思考和反复琢磨才能完成的任务，现在仍然超出了深度学习的能力范围。

本书这一部分描述参数化函数近似技术的核心，几乎所有现代实际应用的深度学习背后都用到了这一技术。首先，我们描述用于表示这些函数的前馈深度网络模型。其次，我们提出正则化和优化这种模型的高级技术。将这些模型扩展到大输入（如高分辨率图像或长时间序列）需要专门化。我们将会介绍扩展到大图像的卷积网络和用于处理时间序列的循环神经网络。最后，我们提出实用方法的一般准则，有助于设计、构建和配置一些涉及深度学习的应用，并回顾其中一些应用。

这些章节对于从业者来说是最重要的，也就是说，现在想开始实现和使用深度学习算法解决现实问题的人需要阅读这些章节。