Question

题目：我们把只包含因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。求按从小到大的顺序的第1500个丑数。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7。习惯上我们把1当做第一个丑数。

逐个判断每个整数是不是丑数的解法，直观但不够高效

所谓一个数m是另一个数n的因子，是指n能被m整除，也就是n%m＝0。根据丑数的定义，丑数只能被2、3和5整除。也就是说如果一个数能被2整除，我们把它连续除以2；如果能被3整除，就连续除以3；如果能被5整除，就除以连续5。如果最后我们得到的是1，那么这个数就是丑数，否则不是。

因此我们可以写出下面的函数来判断一个数是不是丑数：

接下来，我们只需要按照顺序判断每一个整数是不是丑数，即：

我们只需要在函数GetUglyNumber中传入参数1500，就能得到第1500个丑数。该算法非常直观，代码也非常简洁，但最大的问题每个整数都需要计算。即使一个数字不是丑数，我们还是需要对它做求余数和除法操作。因此该算法的时间效率不是很高，面试官也不会就此满足，他会提示我们还有更高效的算法。

创建数组保存已经找到的丑数，用空间换时间的解法

前面的算法之所以效率低，很大程度上是因为不管一个数是不是丑数我们对它都要作计算。接下来我们试着找到一种只要计算丑数的方法，而不在非丑数的整数上花费时间。根据丑数的定义，丑数应该是另一个丑数乘以2、3或者5的结果（1除外）。因此我们可以创建一个数组，里面的数字是排好序的丑数，每一个丑数都是前面的丑数乘以2、3或者5得到的。

这种思路的关键在于怎样确保数组里面的丑数是排好序的。假设数组中已经有若干个丑数排好序后存放在数组中，并且把已有最大的丑数记做M，我们接下来分析如何生成下一个丑数。该丑数肯定是前面某一个丑数乘以2、3或者5的结果，所以我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2。在乘以2的时候，能得到若干个小于或等于M的结果。由于是按照顺序生成的，小于或者等于M肯定已经在数组中了，我们不需再次考虑；还会得到若干个大于M的结果，但我们只需要第一个大于M的结果，因为我们希望丑数是按从小到大的顺序生成的，其他更大的结果以后再说。我们把得到的第一个乘以2后大于M的结果记为M₂。同样，我们把已有的每一个丑数乘以3和5，能得到第一个大于M的结果M₃和M₅。那么下一个丑数应该是M₂、M₃和M₅这3个数的最小者。

前面分析的时候，提到把已有的每个丑数分别都乘以2、3和5。事实上这不是必须的，因为已有的丑数是按顺序存放在数组中的。对乘以2而言，肯定存在某一个丑数T₂，排在它之前的每一个丑数乘以2得到的结果都会小于已有最大的丑数，在它之后的每一个丑数乘以2得到的结果都会太大。我们只需记下这个丑数的位置，同时每次生成新的丑数的时候，去更新这个T₂。对乘以3和5而言，也存在着同样的T₃和T₅。

有了这些分析，我们就可以写出如下代码：

和第一种思路相比，第二种思路不需要在非丑数的整数上做任何计算，因此时间效率有明显提升。但也需要指出，第二种算法由于需要保存已经生成的丑数，因此需要一个数组，从而增加了空间消耗。如果是求第1500个丑数，将创建一个能容纳1500个丑数的数组，这个数组占内存6KB。而第一种思路没有这样的内存开销。总的来说，第二种思路相当于用较小的空间消耗换取了时间效率的提升。

源代码：

本题完整的源代码详见34_UglyNumber项目。

测试用例：

- 功能测试（输入2、3、4、5、6等）。

- 特殊输入测试（边界值1、无效输入0）。

- 性能测试（输入较大的数字，如1500）。

本题考点：

- 考查应聘者对时间复杂度的理解。绝大部分应聘者都能想出第一种思路。在面试官提示还有更快的解法之后，应聘者能否分析出时间效率的瓶颈，并找出解决方案，是能否通过这轮面试的关键。

- 考查应聘者的学习能力和沟通能力。丑数对很多人而言是个新概念。有些面试官喜欢在面试的时候定义一个新概念，然后针对这个新概念出面试题。这就要求应聘者听到不熟悉的概念之后，要有主动积极的态度，大胆向面试官提问，经过几次思考、提问、再思考的循环，在短时间内理解这个新概念。这个过程就体现了应聘者的学习能力和沟通能力。