Question

我们可以将 函数(functions) 想象成一台机器 ，每当我们向机器提供输入，这台机器便会产生输出。

这台机器所能接受的所有输入的集合称为 定义域(domain) ，其所有可能输出的集合称为 值域(range) 。函数的定义域和值域有着非常重要的意义，如果我们知道一个函数的定义域，便不会将不合适的输入丢给函数；知道函数的值域，便能判断一个值是否可能是这个函数所输出的。

一些函数的例子：

1. 多项式(polynomials) ：

因为这是一个三次函数，当 时 ；当 时，因此这个函数的定义域和值域都是实属集。

在 Python 中，我们这样定义上面这个函数：

def f(x):
  return x**3 - 5*x**2 + 9

函数定义好后，我们可以测试一下其是否正确：

print f(3)
-9
print f(1)
5

读者可以自行计算一下，与 Python 中我们所定义函数所给出的结果比较一下。

通常，将函数绘制成函数图能够帮助我们理解函数的变化。

import numpy as np
x = np.linspace(-5, 5, num = 100)
y = f(x)
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x,y)

2. 指数函数(Exponential Functions) :

其定义域为，值域为。在 Python 中，利用欧拉常数可以如下方式定义指数函数：

def exp(x):
  return np.e**x

print exp(2)
7.3890560989306495

或者可以使用 numpy 自带的指数函数

print np.exp(2)
7.3890560989306495

指数函数的函数图：

plt.plot(x, exp(x))

注意到，上面的 Python 定义中，我们只是利用了 numpy 中现成的欧拉常数,如果没有这个神奇的常数，我们是否就无法定义指数函数了呢？答案是否定的：

def exp2(x):
  sum = 0
  for k in range(100):
    sum += float(x**k)/np.math.factorial(k)
  return sum

print exp(1), exp(2), exp(3)
2.718281828459045 7.38905609893 20.0855369232

print exp2(1), exp2(2), exp2(3)
2.7182818284590455 7.38905609893 20.0855369232

上面定义中的奇妙公式：

究竟是从何而来，又为何是这样的，将是本书讨论的重点之一。

3. 对数函数(Logarithmic Functions) :

对数函数是指数函数的反函数，其定义域为，值域。
numpy 为我们提供了以为底的对数函数：

x = np.linspace(0,10,100,endpoint = False)
y1 = np.log2(x)
y2 = np.log(x)
y3 = np.log10(x)
plt.plot(x,y1,'red',x,y2,'yellow',x,y3,'blue')

4. 三角函数(Trigonometric Functions) :
周期性是三角函数的特点之一，同时，不同三角函数的值域和定义域也需要我们牢记，下面是 Python 绘制的一些三角函数的函数图：

plt.plot(np.linspace(-2*np.pi,2*np.pi),np.sin(np.linspace(-2*np.pi,2*np.pi)))

plt.plot(np.linspace(-2*np.pi,2*np.pi),np.cos(np.linspace(-2*np.pi,2*np.pi)))

这里我们没有给出对数函数和三角函数的数学表达式，没有告诉大家如何在 Python 中定义自己的对数函数和三角函数。这并不表述我们没法这么做，与指数函数一样，我们会在后面章节为读者揭开这些奇妙函数背后的故事。