Question

3067. 在带权树网络中统计可连接服务器对数目

English Version

题目描述

给你一棵无根带权树，树中总共有 n 个节点，分别表示 n 个服务器，服务器从 0 到 n - 1 编号。同时给你一个数组 edges ，其中 edges[i] = [ai, bi, weighti] 表示节点 ai 和 bi 之间有一条双向边，边的权值为 weighti 。再给你一个整数 signalSpeed 。

如果两个服务器 a ，b 和 c 满足以下条件，那么我们称服务器 a 和 b 是通过服务器 c 可连接的 ：

• a < b ，a != c 且 b != c 。
• 从 c 到 a 的距离是可以被 signalSpeed 整除的。
• 从 c 到 b 的距离是可以被 signalSpeed 整除的。
• 从 c 到 b 的路径与从 c 到 a 的路径没有任何公共边。

请你返回一个长度为 n 的整数数组 count ，其中 count[i] 表示通过服务器 i 可连接 的服务器对的 数目 。

 

示例 1：

输入：edges = [[0,1,1],[1,2,5],[2,3,13],[3,4,9],[4,5,2]], signalSpeed = 1
输出：[0,4,6,6,4,0]
解释：由于 signalSpeed 等于 1 ，count[c] 等于所有从 c 开始且没有公共边的路径对数目。
在输入图中，count[c] 等于服务器 c 左边服务器数目乘以右边服务器数目。

示例 2：

输入：edges = [[0,6,3],[6,5,3],[0,3,1],[3,2,7],[3,1,6],[3,4,2]], signalSpeed = 3
输出：[2,0,0,0,0,0,2]
解释：通过服务器 0 ，有 2 个可连接服务器对(4, 5) 和 (4, 6) 。
通过服务器 6 ，有 2 个可连接服务器对 (4, 5) 和 (0, 5) 。
所有服务器对都必须通过服务器 0 或 6 才可连接，所以其他服务器对应的可连接服务器对数目都为 0 。

 

提示：

• 2 <= n <= 1000
• edges.length == n - 1
• edges[i].length == 3
• 0 <= ai, bi < n
• edges[i] = [ai, bi, weighti]
• 1 <= weighti <= 106
• 1 <= signalSpeed <= 106
• 输入保证 edges 构成一棵合法的树。

解法

方法一：枚举 + DFS

我们先根据题目给定的边构建出一个邻接表 $g$，其中 $g[a]$ 表示节点 $a$ 的所有邻居节点以及对应的边权。

然后，我们可以枚举每一个节点 $a$ 作为连接的中间节点，通过深度优先搜索计算出从 $a$ 的邻居节点 $b$ 出发的，且到节点 $a$ 的距离可以被 $signalSpeed$ 整除的节点数 $t$。那么，节点 $a$ 的可连接节点对数目增加了 $s \times t$，其中 $s$ 表示节点 $a$ 的邻居节点 $b$ 出发的，且到节点 $a$ 的距离不可以被 $signalSpeed$ 整除的累计节点数。然后我们更新 $s$ 为 $s + t$。

枚举完所有节点 $a$ 之后，我们就可以得到所有节点的可连接节点对数目。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 表示节点数。

class Solution:
  def countPairsOfConnectableServers(
    self, edges: List[List[int]], signalSpeed: int
  ) -> List[int]:
    def dfs(a: int, fa: int, ws: int) -> int:
      cnt = 0 if ws % signalSpeed else 1
      for b, w in g[a]:
        if b != fa:
          cnt += dfs(b, a, ws + w)
      return cnt

    n = len(edges) + 1
    g = [[] for _ in range(n)]
    for a, b, w in edges:
      g[a].append((b, w))
      g[b].append((a, w))
    ans = [0] * n
    for a in range(n):
      s = 0
      for b, w in g[a]:
        t = dfs(b, a, w)
        ans[a] += s * t
        s += t
    return ans

class Solution {
  private int signalSpeed;
  private List<int[]>[] g;

  public int[] countPairsOfConnectableServers(int[][] edges, int signalSpeed) {
    int n = edges.length + 1;
    g = new List[n];
    this.signalSpeed = signalSpeed;
    Arrays.setAll(g, k -> new ArrayList<>());
    for (var e : edges) {
      int a = e[0], b = e[1], w = e[2];
      g[a].add(new int[] {b, w});
      g[b].add(new int[] {a, w});
    }
    int[] ans = new int[n];
    for (int a = 0; a < n; ++a) {
      int s = 0;
      for (var e : g[a]) {
        int b = e[0], w = e[1];
        int t = dfs(b, a, w);
        ans[a] += s * t;
        s += t;
      }
    }
    return ans;
  }

  private int dfs(int a, int fa, int ws) {
    int cnt = ws % signalSpeed == 0 ? 1 : 0;
    for (var e : g[a]) {
      int b = e[0], w = e[1];
      if (b != fa) {
        cnt += dfs(b, a, ws + w);
      }
    }
    return cnt;
  }
}

class Solution {
public:
  vector<int> countPairsOfConnectableServers(vector<vector<int>>& edges, int signalSpeed) {
    int n = edges.size() + 1;
    vector<pair<int, int>> g[n];
    for (auto& e : edges) {
      int a = e[0], b = e[1], w = e[2];
      g[a].emplace_back(b, w);
      g[b].emplace_back(a, w);
    }
    function<int(int, int, int)> dfs = [&](int a, int fa, int ws) {
      int cnt = ws % signalSpeed == 0;
      for (auto& [b, w] : g[a]) {
        if (b != fa) {
          cnt += dfs(b, a, ws + w);
        }
      }
      return cnt;
    };
    vector<int> ans(n);
    for (int a = 0; a < n; ++a) {
      int s = 0;
      for (auto& [b, w] : g[a]) {
        int t = dfs(b, a, w);
        ans[a] += s * t;
        s += t;
      }
    }
    return ans;
  }
};

func countPairsOfConnectableServers(edges [][]int, signalSpeed int) []int {
  n := len(edges) + 1
  type pair struct{ x, w int }
  g := make([][]pair, n)
  for _, e := range edges {
    a, b, w := e[0], e[1], e[2]
    g[a] = append(g[a], pair{b, w})
    g[b] = append(g[b], pair{a, w})
  }
  var dfs func(a, fa, ws int) int
  dfs = func(a, fa, ws int) int {
    cnt := 0
    if ws%signalSpeed == 0 {
      cnt++
    }
    for _, e := range g[a] {
      b, w := e.x, e.w
      if b != fa {
        cnt += dfs(b, a, ws+w)
      }
    }
    return cnt
  }
  ans := make([]int, n)
  for a := 0; a < n; a++ {
    s := 0
    for _, e := range g[a] {
      b, w := e.x, e.w
      t := dfs(b, a, w)
      ans[a] += s * t
      s += t
    }
  }
  return ans
}

function countPairsOfConnectableServers(edges: number[][], signalSpeed: number): number[] {
  const n = edges.length + 1;
  const g: [number, number][][] = Array.from({ length: n }, () => []);
  for (const [a, b, w] of edges) {
    g[a].push([b, w]);
    g[b].push([a, w]);
  }
  const dfs = (a: number, fa: number, ws: number): number => {
    let cnt = ws % signalSpeed === 0 ? 1 : 0;
    for (const [b, w] of g[a]) {
      if (b != fa) {
        cnt += dfs(b, a, ws + w);
      }
    }
    return cnt;
  };
  const ans: number[] = Array(n).fill(0);
  for (let a = 0; a < n; ++a) {
    let s = 0;
    for (const [b, w] of g[a]) {
      const t = dfs(b, a, w);
      ans[a] += s * t;
      s += t;
    }
  }
  return ans;
}