Question

线性代数提供了称为矩阵逆（matrix inversion）的强大工具。对于大多数矩阵A，我们都能通过矩阵逆解析地求解式（2.11）。

为了描述矩阵逆，我们首先需要定义单位矩阵（identity matrix）的概念。任意向量和单位矩阵相乘，都不会改变。我们将保持n维向量不变的单位矩阵记作I_n。形式上，，

单位矩阵的结构很简单：所有沿主对角线的元素都是1，而其他位置的所有元素都是0，如图2.2所示。

图2.2　单位矩阵的一个样例：这是I₃

矩阵A的矩阵逆记作A⁻¹，其定义的矩阵满足如下条件：

现在我们可以通过以下步骤求解式（2.11）：

当然，这取决于我们能否找到一个逆矩阵A⁻¹。在接下来的章节中，我们会讨论逆矩阵A⁻¹存在的条件。

当逆矩阵A⁻¹存在时，有几种不同的算法都能找到它的闭解形式。理论上，相同的逆矩阵可用于多次求解不同向量b的方程。然而，逆矩阵A⁻¹主要是作为理论工具使用的，并不会在大多数软件应用程序中实际使用。这是因为逆矩阵A⁻¹在数字计算机上只能表现出有限的精度，有效使用向量b的算法通常可以得到更精确的x。