Question

题目：输入n个整数，找出其中最小的k个数。例如输入4、5、1、6、2、7、3、8这8个数字，则最小的4个数字是1、2、3、4。

这道题最简单的思路莫过于把输入的n个整数排序，排序之后位于最前面的k个数就是最小的k个数。这种思路的时间复杂度是O（nlogn），面试官会提示我们还有更快的算法。

解法一：O（n）的算法，只有当我们可以修改输入的数组时可用

从解决面试题29数组中出现次数超过一半的数字得到了启发，我们同样可以基于Partition函数来解决这个问题。如果基于数组的第k个数字来调整，使得比第k个数字小的所有数字都位于数组的左边，比第k个数字大的所有数字都位于数组的右边。这样调整之后，位于数组中左边的k个数字就是最小的k个数字（这k个数字不一定是排序的）。下面是基于这种思路的参考代码：

采用这种思路是有限制的。我们需要修改输入的数组，因为函数Partition会调整数组中数字的顺序。如果面试官要求不能修改输入的数组，我们该怎么办呢？

解法二：O（nlogk）的算法，特别适合处理海量数据

我们可以先创建一个大小为k的数据容器来存储最小的k个数字，接下来我们每次从输入的n个整数中读入一个数。如果容器中已有的数字少于k个，则直接把这次读入的整数放入容器之中；如果容器中已有k个数字了，也就是容器已满，此时我们不能再插入新的数字而只能替换已有的数字。找出这已有的k个数中的最大值，然后拿这次待插入的整数和最大值进行比较。如果待插入的值比当前已有的最大值小，则用这个数替换当前已有的最大值；如果待插入的值比当前已有的最大值还要大，那么这个数不可能是最小的k个整数之一，于是我们可以抛弃这个整数。

因此当容器满了之后，我们要做3件事情：一是在k个整数中找到最大数；二是有可能在这个容器中删除最大数；三是有可能要插入一个新的数字。如果用一个二叉树来实现这个数据容器，那么我们能在O（logk）时间内实现这三步操作。因此对于n个输入数字而言，总的时间效率就是O（nlogk）。

我们可以选择用不同的二叉树来实现这个数据容器。由于每次都需要找到k个整数中的最大数字，我们很容易想到用最大堆。在最大堆中，根结点的值总是大于它的子树中任意结点的值。于是我们每次可以在O（1）得到已有的k个数字中的最大值，但需要O（logk）时间完成删除及插入操作。

我们自己从头实现一个最大堆需要一定的代码，这在面试短短的几十分钟内很难完成。我们还可以采用红黑树来实现我们的容器。红黑树通过把结点分为红、黑两种颜色并根据一些规则确保树在一定程度上是平衡的，从而保证在红黑树中查找、删除和插入操作都只需要O（logk）时间。在STL中set和multiset都是基于红黑树实现的。如果面试官不反对我们用STL中的数据容器，我们就可以直接拿过来用。下面是基于STL中的multiset的参考代码：

解法比较

基于函数Partitiaon的第一种解法的平均时间复杂度是O（n），比第二种思路要快，但同时它也有明显的限制，比如会修改输入的数组。

第二种解法虽然要慢一点，但它有两个明显的优点。一是没有修改输入的数据（代码中的变量data）。我们每次只是从data中读入数字，所有的写操作都是在容器leastNumbers中进行的。二是该算法适合海量数据的输入（包括百度在内的多家公司非常喜欢与海量输入数据相关的问题）。假设题目是要求从海量的数据中找出最小的k个数字，由于内存的大小是有限的，有可能不能把这些海量的数据一次性全部载入内存。这个时候，我们可以从辅助存储空间（比如硬盘）中每次读入一个数字，根据GetLeastNumbers的方式判断是不是需要放入容器leastNumbers即可。这种思路只要求内存能够容纳leastNumbers即可，因此它最适合的情形就是n很大并且k较小的问题。

我们可以用表5.1总结这两种解法的特点。

表5.1　两种算法的特点比较

由于这两种算法各有优缺点，各自适用于不同的场合，因此应聘者在动手做题之前先要问清楚题目的要求，包括输入的数据量有多大、能否一次性载入内存、是否允许交换输入数据中数字的顺序等。

面试小提示：

如果面试时遇到的面试题有多种解法，并且每个解法都各有优缺点，那么我们要向面试官问清楚题目的要求，输入的特点，从而选择最合适的解法。

源代码：

本题完整的源代码详见30_KLeastNumbers项目。

测试用例：

- 功能测试（输入的数组中有相同的数字，输入的数组中没有相同的数字）。

- 边界值测试（输入的k等于1或者等于数组的长度）

- 特殊输入测试（k小于1、k大于数组的长度、指向数组的指针为NULL）。

本题考点：

- 考查对时间复杂度的分析能力。面试的时候每想出一个解法，我们都要能分析出这种解法的时间复杂度是多少。

- 如果采用第一种思路，本题考查对Partition函数的理解。这个函数既是快速排序的基础，也可以用来查找n个数中第k大的数字。

- 如果采用第二种思路，本题考查对堆、红黑树等数据结构的理解。当需要在某数据容器内频繁查找及替换最大值时，我们要想到二叉树是个合适的选择，并能想到用堆或者红黑树等特殊的二叉树来实现。