Question

368. 最大整除子集

English Version

题目描述

给你一个由 无重复 正整数组成的集合 nums ，请你找出并返回其中最大的整除子集 answer ，子集中每一元素对 (answer[i], answer[j]) 都应当满足：

• answer[i] % answer[j] == 0 ，或
• answer[j] % answer[i] == 0

如果存在多个有效解子集，返回其中任何一个均可。

 

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[1,2]
解释：[1,3] 也会被视为正确答案。

示例 2：

输入：nums = [1,2,4,8]
输出：[1,2,4,8]

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 1000
• 1 <= nums[i] <= 2 * 109
• nums 中的所有整数 互不相同

解法

方法一：排序 + 动态规划

我们先对数组进行排序，这样可以保证对于任意的 $i \lt j$，如果 $nums[i]$ 可以整除 $nums[j]$，那么 $nums[i]$ 一定在 $nums[j]$ 的左边。

接下来，我们定义 $f[i]$ 表示以 $nums[i]$ 为最大元素的最大整除子集的大小，初始时 $f[i]=1$。

对于每一个 $i$，我们从左往右枚举 $j$，如果 $nums[i]$ 可以被 $nums[j]$ 整除，那么 $f[i]$ 可以从 $f[j]$ 转移而来，我们更新 $f[i]=max(f[i], f[j]+1)$。过程中，我们记录 $f[i]$ 的最大值的下标 $k$ 以及对应的子集大小 $m$。

最后，我们从 $k$ 开始倒序遍历，如果 $nums[k]$ 可以被 $nums[i]$ 整除，且 $f[i]=m$，那么 $nums[i]$ 就是一个整除子集的元素，我们将 $nums[i]$ 加入答案，并将 $m$ 减 $1$，同时更新 $k=i$。继续倒序遍历，直到 $m=0$。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是数组的长度。

class Solution:
  def largestDivisibleSubset(self, nums: List[int]) -> List[int]:
    nums.sort()
    n = len(nums)
    f = [1] * n
    k = 0
    for i in range(n):
      for j in range(i):
        if nums[i] % nums[j] == 0:
          f[i] = max(f[i], f[j] + 1)
      if f[k] < f[i]:
        k = i
    m = f[k]
    i = k
    ans = []
    while m:
      if nums[k] % nums[i] == 0 and f[i] == m:
        ans.append(nums[i])
        k, m = i, m - 1
      i -= 1
    return ans

class Solution {
  public List<Integer> largestDivisibleSubset(int[] nums) {
    Arrays.sort(nums);
    int n = nums.length;
    int[] f = new int[n];
    Arrays.fill(f, 1);
    int k = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      for (int j = 0; j < i; ++j) {
        if (nums[i] % nums[j] == 0) {
          f[i] = Math.max(f[i], f[j] + 1);
        }
      }
      if (f[k] < f[i]) {
        k = i;
      }
    }
    int m = f[k];
    List<Integer> ans = new ArrayList<>();
    for (int i = k; m > 0; --i) {
      if (nums[k] % nums[i] == 0 && f[i] == m) {
        ans.add(nums[i]);
        k = i;
        --m;
      }
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  vector<int> largestDivisibleSubset(vector<int>& nums) {
    sort(nums.begin(), nums.end());
    int n = nums.size();
    int f[n];
    int k = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      f[i] = 1;
      for (int j = 0; j < i; ++j) {
        if (nums[i] % nums[j] == 0) {
          f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
        }
      }
      if (f[k] < f[i]) {
        k = i;
      }
    }
    int m = f[k];
    vector<int> ans;
    for (int i = k; m > 0; --i) {
      if (nums[k] % nums[i] == 0 && f[i] == m) {
        ans.push_back(nums[i]);
        k = i;
        --m;
      }
    }
    return ans;
  }
};

func largestDivisibleSubset(nums []int) (ans []int) {
  sort.Ints(nums)
  n := len(nums)
  f := make([]int, n)
  k := 0
  for i := 0; i < n; i++ {
    f[i] = 1
    for j := 0; j < i; j++ {
      if nums[i]%nums[j] == 0 {
        f[i] = max(f[i], f[j]+1)
      }
    }
    if f[k] < f[i] {
      k = i
    }
  }
  m := f[k]
  for i := k; m > 0; i-- {
    if nums[k]%nums[i] == 0 && f[i] == m {
      ans = append(ans, nums[i])
      k = i
      m--
    }
  }
  return
}