Question

970. 强整数

English Version

题目描述

给定三个整数 x 、 y 和_ _bound_ _，返回 _值小于或等于 bound 的所有 强整数 组成的列表_ 。

如果某一整数可以表示为 xi + yj ，其中整数 i >= 0 且 j >= 0，那么我们认为该整数是一个 强整数 。

你可以按 任何顺序 返回答案。在你的回答中，每个值 最多 出现一次。

 

示例 1：

输入：x = 2, y = 3, bound = 10
输出：[2,3,4,5,7,9,10]
解释： 
2 = 20 + 30
3 = 21 + 30
4 = 20 + 31
5 = 21 + 31
7 = 22 + 31
9 = 23 + 30
10 = 20 + 32

示例 2：

输入：x = 3, y = 5, bound = 15
输出：[2,4,6,8,10,14]

 

提示：

• 1 <= x, y <= 100
• 0 <= bound <= 106

解法

方法一：哈希表 + 枚举

根据题目描述，一个强整数可以表示成 $x^i + y^j$，其中 $i \geq 0$, $j \geq 0$。

题目需要我们找出所有不超过 $bound$ 的强整数，我们注意到 $bound$ 的取值范围不超过 $10^6$，而 $2^{20} = 1048576 \gt 10^6$。因此，如果 $x \geq 2$，那么 $i$ 最大不超过 $20$，才有可能使得 $x^i + y^j \leq bound$ 成立。同理，如果 $y \geq 2$，那么 $j$ 最大不超过 $20$。

因此我们可以使用双重循环，枚举所有可能的 $x^i$ 和 $y^j$，分别记为 $a$ 和 $b$，并保证 $a + b \leq bound$，此时 $a + b$ 即为一个强整数。我们使用哈希表存储所有满足条件的强整数，最后将哈希表中的所有元素转换成答案列表返回即可。

注意，如果 $x=1$ 或者 $y=1$，那么 $a$ 或者 $b$ 的值恒等于 $1$，对应的循环只需要执行一次即可退出。

时间复杂度 $O(\log^2 bound)$，空间复杂度 $O(\log^2 bound)$。

class Solution:
  def powerfulIntegers(self, x: int, y: int, bound: int) -> List[int]:
    ans = set()
    a = 1
    while a <= bound:
      b = 1
      while a + b <= bound:
        ans.add(a + b)
        b *= y
        if y == 1:
          break
      if x == 1:
        break
      a *= x
    return list(ans)

class Solution {
  public List<Integer> powerfulIntegers(int x, int y, int bound) {
    Set<Integer> ans = new HashSet<>();
    for (int a = 1; a <= bound; a *= x) {
      for (int b = 1; a + b <= bound; b *= y) {
        ans.add(a + b);
        if (y == 1) {
          break;
        }
      }
      if (x == 1) {
        break;
      }
    }
    return new ArrayList<>(ans);
  }
}

class Solution {
public:
  vector<int> powerfulIntegers(int x, int y, int bound) {
    unordered_set<int> ans;
    for (int a = 1; a <= bound; a *= x) {
      for (int b = 1; a + b <= bound; b *= y) {
        ans.insert(a + b);
        if (y == 1) {
          break;
        }
      }
      if (x == 1) {
        break;
      }
    }
    return vector<int>(ans.begin(), ans.end());
  }
};

func powerfulIntegers(x int, y int, bound int) (ans []int) {
  s := map[int]struct{}{}
  for a := 1; a <= bound; a *= x {
    for b := 1; a+b <= bound; b *= y {
      s[a+b] = struct{}{}
      if y == 1 {
        break
      }
    }
    if x == 1 {
      break
    }
  }
  for x := range s {
    ans = append(ans, x)
  }
  return ans
}

function powerfulIntegers(x: number, y: number, bound: number): number[] {
  const ans = new Set<number>();
  for (let a = 1; a <= bound; a *= x) {
    for (let b = 1; a + b <= bound; b *= y) {
      ans.add(a + b);
      if (y === 1) {
        break;
      }
    }
    if (x === 1) {
      break;
    }
  }
  return Array.from(ans);
}

/**
 * @param {number} x
 * @param {number} y
 * @param {number} bound
 * @return {number[]}
 */
var powerfulIntegers = function (x, y, bound) {
  const ans = new Set();
  for (let a = 1; a <= bound; a *= x) {
    for (let b = 1; a + b <= bound; b *= y) {
      ans.add(a + b);
      if (y === 1) {
        break;
      }
    }
    if (x === 1) {
      break;
    }
  }
  return [...ans];
};