Question

欧拉公式（Euler's Formula）

在 1.1 中给出了指数函数的多项式形式：

接下来我们不仅暂时不去解释上式是如何来的，而是更丧心病狂地丢给读者两个有关三角函数的类似式子：

在中学数学中，我们都接触过 虚数(Imaginary Number) 的概念，这里我们对其来源和意义暂不讨论，只是简单回顾一下其基本的运算规则：

将带入指数函数的公式中，我们获得：

此时，我们便获得了著名的欧拉公式：
特别地，令时：

欧拉公式在三角函数、圆周率、虚数以及自然指数之间建立的桥梁，在很多领域都扮演着重要的角色。

如果你对欧拉公式的正确性感到疑惑，不妨在 Python 中验证一下：

x = np.linspace(-np.pi,np.pi)  
# Numpy 中虚数用 j 表示
lhs = e**(1j*x)
rhs = cos(x)+1j*sin(x)
print sum(lhs==rhs)==len(x)
# result: True
# 我们也可以用 sympy 来展开 e^x，得特别注意的是 sympy 中虚数为 I,欧拉常数为 E
z = sympy.Symbol('z', real = True)
sympy.expand(sympy.E**(sympy.I*z), complex = True)
# result: I*sin(z) + cos(z)

将函数写成多项式形式有很多的好处，多项式的微分和积分都比较容易。现在你知道了的多项式形式，不妨用其去验证一下中学书本中强行填塞给你这几个公式：

喔，对了，这一章怎能没有图呢？收尾前来一发吧：

for p in e**(1j*x):
  plt.polar([0, angle(p)],[0, abs(p)], marker = 'o')

想要理解这张图的几何意义的话，就请继续学习吧少年！