Question

学习线性代数，会涉及以下几个数学概念：

标量（scalar）：一个标量就是一个单独的数，它不同于线性代数中研究的其他大部分对象（通常是多个数的数组）。我们用斜体表示标量。标量通常被赋予小写的变量名称。在介绍标量时，我们会明确它们是哪种类型的数。比如，在定义实数标量时，我们可能会说“令表示一条线的斜率”；在定义自然数标量时，我们可能会说“令表示元素的数目”。

向量（vector）：一个向量是一列数。这些数是有序排列的。通过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。通常我们赋予向量粗体的小写变量名称，比如x。向量中的元素可以通过带脚标的斜体表示。向量x的第一个元素是x₁，第二个元素是x₂，等等。我们也会注明存储在向量中的元素是什么类型的。如果每个元素都属于，并且该向量有n个元素，那么该向量属于实数集的n次笛卡儿乘积构成的集合，记为。当需要明确表示向量中的元素时，我们会将元素排列成一个方括号包围的纵列：

我们可以把向量看作空间中的点，每个元素是不同坐标轴上的坐标。
有时我们需要索引向量中的一些元素。在这种情况下，我们定义一个包含这些元素索引的集合，然后将该集合写在脚标处。比如，指定x₁、x₃和x₆，我们定义集合S={1，3，6}，然后写作x_S。我们用符号－表示集合的补集中的索引。比如x₋₁表示x中除x₁外的所有元素，x_−S表示x中除x₁、x₃、x₆外所有元素构成的向量。

矩阵（matrix）：矩阵是一个二维数组，其中的每一个元素由两个索引（而非一个）所确定。我们通常会赋予矩阵粗体的大写变量名称，比如A。如果一个实数矩阵高度为m，宽度为n，那么我们说。我们在表示矩阵中的元素时，通常以不加粗的斜体形式使用其名称，索引用逗号间隔。比如，A_1，1表示A左上的元素，A_m，n表示A右下的元素。我们通过用“：”表示水平坐标，以表示垂直坐标i中的所有元素。比如，A_i，：表示A中垂直坐标i上的一横排元素。这也被称为A的第i行（row）。同样地，A_：，i表示A的第i列（column）。当需要明确表示矩阵中的元素时，我们将它们写在用方括号括起来的数组中：

有时我们需要矩阵值表达式的索引，而不是单个元素。在这种情况下，我们在表达式后面接下标，但不必将矩阵的变量名称小写化。比如，f(A)_i,j表示函数f作用在A上输出的矩阵的第i行第j列元素。

张量（tensor）：在某些情况下，我们会讨论坐标超过两维的数组。一般的，一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网格中，我们称之为张量。我们使用字体来表示张量“A”。张量中坐标为（i,j,k）的元素记作A_i,j,k。

转置（transpose）是矩阵的重要操作之一。矩阵的转置是以对角线为轴的镜像，这条从左上角到右下角的对角线被称为主对角线（main diagonal）。图2.1显示了这个操作。我们将矩阵A的转置表示为，定义如下

向量可以看作只有一列的矩阵。对应地，向量的转置可以看作只有一行的矩阵。有时，我们通过将向量元素作为行矩阵写在文本行中，然后使用转置操作将其变为标准的列向量，来定义一个向量，比如。

图2.1　矩阵的转置可以看作以主对角线为轴的一个镜像

标量可以看作只有一个元素的矩阵。因此，标量的转置等于它本身，。

只要矩阵的形状一样，我们可以把两个矩阵相加。两个矩阵相加是指对应位置的元素相加，比如C=A﹢B，其中C_i,j=A_i,j﹢B_i,j 。

标量和矩阵相乘，或是和矩阵相加时，我们只需将其与矩阵的每个元素相乘或相加，比如D=a·B﹢c，其中D_i,j=a·B_i,j﹢c。

在深度学习中，我们也使用一些不那么常规的符号。我们允许矩阵和向量相加，产生另一个矩阵：C=A﹢b，其中C_i,j=A_i,j﹢b_j。换言之，向量b和矩阵A的每一行相加。这个简写方法使我们无须在加法操作前定义一个将向量b复制到每一行而生成的矩阵。这种隐式地复制向量b到很多位置的方式，称为广播（broadcasting）。