Question

120. 三角形最小路径和

English Version

题目描述

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

 

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

 

提示：

• 1 <= triangle.length <= 200
• triangle[0].length == 1
• triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
• -104 <= triangle[i][j] <= 104

 

进阶：

• 你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i][j]$ 表示从三角形底部走到位置 $(i, j)$ 的最小路径和。这里的位置 $(i, j)$ 指的是三角形中第 $i$ 行第 $j$ 列（均从 $0$ 开始编号）的位置。那么我们有如下的状态转移方程：

$$ f[i][j] = \min(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + triangle[i][j] $$

答案即为 $f[0][0]$。

我们注意到，状态 $f[i][j]$ 仅与状态 $f[i + 1][j]$ 和状态 $f[i + 1][j + 1]$ 有关，因此我们可以使用一维数组代替二维数组，将空间复杂度从 $O(n^2)$ 降低至 $O(n)$。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是三角形的行数。

更进一步，我们还可以直接复用 $triangle$ 作为 $f$ 数组，这样就无需再额外创建 $f$ 数组，空间复杂度降低至 $O(1)$。

class Solution:
  def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
    n = len(triangle)
    f = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(n - 1, -1, -1):
      for j in range(i + 1):
        f[i][j] = min(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + triangle[i][j]
    return f[0][0]

class Solution {
  public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
    int n = triangle.size();
    int[] f = new int[n + 1];
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
      for (int j = 0; j <= i; ++j) {
        f[j] = Math.min(f[j], f[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
      }
    }
    return f[0];
  }
}

class Solution {
public:
  int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
    int n = triangle.size();
    int f[n + 1];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for (int i = n - 1; ~i; --i) {
      for (int j = 0; j <= i; ++j) {
        f[j] = min(f[j], f[j + 1]) + triangle[i][j];
      }
    }
    return f[0];
  }
};

func minimumTotal(triangle [][]int) int {
  n := len(triangle)
  f := make([]int, n+1)
  for i := n - 1; i >= 0; i-- {
    for j := 0; j <= i; j++ {
      f[j] = min(f[j], f[j+1]) + triangle[i][j]
    }
  }
  return f[0]
}

function minimumTotal(triangle: number[][]): number {
  const n = triangle.length;
  const f: number[] = Array(n + 1).fill(0);
  for (let i = n - 1; ~i; --i) {
    for (let j = 0; j <= i; ++j) {
      f[j] = Math.min(f[j], f[j + 1]) + triangle[i][j];
    }
  }
  return f[0];
}

impl Solution {
  pub fn minimum_total(triangle: Vec<Vec<i32>>) -> i32 {
    let n = triangle.len();
    let mut f = vec![0; n + 1];
    for i in (0..n).rev() {
      for j in 0..=i {
        f[j] = f[j].min(f[j + 1]) + triangle[i][j];
      }
    }
    f[0]
  }
}

方法二

class Solution:
  def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
    n = len(triangle)
    f = [0] * (n + 1)
    for i in range(n - 1, -1, -1):
      for j in range(i + 1):
        f[j] = min(f[j], f[j + 1]) + triangle[i][j]
    return f[0]

class Solution {
  public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
    for (int i = triangle.size() - 2; i >= 0; --i) {
      for (int j = 0; j <= i; ++j) {
        int x = triangle.get(i).get(j);
        int y = Math.min(triangle.get(i + 1).get(j), triangle.get(i + 1).get(j + 1));
        triangle.get(i).set(j, x + y);
      }
    }
    return triangle.get(0).get(0);
  }
}

class Solution {
public:
  int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
    for (int i = triangle.size() - 2; ~i; --i) {
      for (int j = 0; j <= i; ++j) {
        triangle[i][j] += min(triangle[i + 1][j], triangle[i + 1][j + 1]);
      }
    }
    return triangle[0][0];
  }
};

func minimumTotal(triangle [][]int) int {
  for i := len(triangle) - 2; i >= 0; i-- {
    for j := 0; j <= i; j++ {
      triangle[i][j] += min(triangle[i+1][j], triangle[i+1][j+1])
    }
  }
  return triangle[0][0]
}

function minimumTotal(triangle: number[][]): number {
  for (let i = triangle.length - 2; ~i; --i) {
    for (let j = 0; j <= i; ++j) {
      triangle[i][j] += Math.min(triangle[i + 1][j], triangle[i + 1][j + 1]);
    }
  }
  return triangle[0][0];
}

impl Solution {
  pub fn minimum_total(triangle: Vec<Vec<i32>>) -> i32 {
    let mut triangle = triangle;
    for i in (0..triangle.len() - 1).rev() {
      for j in 0..=i {
        triangle[i][j] += triangle[i + 1][j].min(triangle[i + 1][j + 1]);
      }
    }
    triangle[0][0]
  }
}

方法三

class Solution:
  def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
    n = len(triangle)
    for i in range(n - 2, -1, -1):
      for j in range(i + 1):
        triangle[i][j] = (
          min(triangle[i + 1][j], triangle[i + 1][j + 1]) + triangle[i][j]
        )
    return triangle[0][0]