Question

878. 第 N 个神奇数字

English Version

题目描述

一个正整数如果能被 a 或 b 整除，那么它是神奇的。

给定三个整数 n , a , b ，返回第 n 个神奇的数字。因为答案可能很大，所以返回答案 对 109 + 7 取模 后的值。

 

示例 1：

输入：n = 1, a = 2, b = 3
输出：2

示例 2：

输入：n = 4, a = 2, b = 3
输出：6

 

提示：

• 1 <= n <= 109
• 2 <= a, b <= 4 * 104

 

解法

方法一：数学 + 二分查找

根据题目描述，神奇数字是能被 $a$ 或 $b$ 整除的正整数。

而我们知道，对于任意正整数 $x$，在 $[1,..x]$ 范围内，能被 $a$ 整除的数有 $\lfloor \frac{x}{a} \rfloor$ 个，能被 $b$ 整除的数有 $\lfloor \frac{x}{b} \rfloor$ 个，能被 $a$ 和 $b$ 同时整除的数有 $\lfloor \frac{x}{c} \rfloor$ 个，其中 $c$ 是 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数。最小公倍数的计算公式为 $c = lcm(a, b) = \frac{a \times b}{gcd(a, b)}$。

因此，对于任意正整数 $x$，在 $[1,..x]$ 范围内，神奇数字的个数为：

$$ \lfloor \frac{x}{a} \rfloor + \lfloor \frac{x}{b} \rfloor - \lfloor \frac{x}{c} \rfloor $$

为什么要减去 $\lfloor \frac{x}{c} \rfloor$ 呢？可以这样理解，在 $[1,..x]$ 范围内，能被 $a$ 和 $b$ 同时整除的数，它们既能被 $a$ 整除，也能被 $b$ 整除，因此它们被计算了两次，需要减去一次。

题目要我们找到第 $n$ 个神奇数字，也即是说，要找到一个最小的正整数 $x$，使得以下式子成立：

$$ \lfloor \frac{x}{a} \rfloor + \lfloor \frac{x}{b} \rfloor - \lfloor \frac{x}{c} \rfloor \geq n $$

随着 $x$ 的增大，神奇数字的个数也会增大，因此我们可以使用二分查找的方法，找到最小的正整数 $x$，使得上述式子成立。

注意答案的取模操作。

时间复杂度 $O(\log M)$，空间复杂度 $O(1)$。其中 $M$ 是二分查找的上界，本题可以取 $M=(a+b) \times n$。

class Solution:
  def nthMagicalNumber(self, n: int, a: int, b: int) -> int:
    mod = 10**9 + 7
    c = lcm(a, b)
    r = (a + b) * n
    return bisect_left(range(r), x=n, key=lambda x: x // a + x // b - x // c) % mod

class Solution {
  private static final int MOD = (int) 1e9 + 7;

  public int nthMagicalNumber(int n, int a, int b) {
    int c = a * b / gcd(a, b);
    long l = 0, r = (long) (a + b) * n;
    while (l < r) {
      long mid = l + r >>> 1;
      if (mid / a + mid / b - mid / c >= n) {
        r = mid;
      } else {
        l = mid + 1;
      }
    }
    return (int) (l % MOD);
  }

  private int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
  }
}

using ll = long long;

class Solution {
public:
  const int mod = 1e9 + 7;

  int nthMagicalNumber(int n, int a, int b) {
    int c = lcm(a, b);
    ll l = 0, r = 1ll * (a + b) * n;
    while (l < r) {
      ll mid = l + r >> 1;
      if (mid / a + mid / b - mid / c >= n)
        r = mid;
      else
        l = mid + 1;
    }
    return l % mod;
  }
};

func nthMagicalNumber(n int, a int, b int) int {
  c := a * b / gcd(a, b)
  const mod int = 1e9 + 7
  r := (a + b) * n
  return sort.Search(r, func(x int) bool { return x/a+x/b-x/c >= n }) % mod
}

func gcd(a, b int) int {
  if b == 0 {
    return a
  }
  return gcd(b, a%b)
}