Question

343. 整数拆分

English Version

题目描述

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 _你可以获得的最大乘积_ 。

 

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

 

提示:

• 2 <= n <= 58

解法

方法一：动态规划

我们定义 $dp[i]$ 表示正整数 $n$ 能获得的最大乘积，初始化 $dp[1] = 1$。答案即为 $dp[n]$。

状态转移方程为：

$$ dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] \times j, (i - j) \times j) \quad (j \in [0, i)) $$

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为正整数 $n$。

class Solution:
  def integerBreak(self, n: int) -> int:
    dp = [1] * (n + 1)
    for i in range(2, n + 1):
      for j in range(1, i):
        dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * j, (i - j) * j)
    return dp[n]

class Solution {
  public int integerBreak(int n) {
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
      for (int j = 1; j < i; ++j) {
        dp[i] = Math.max(Math.max(dp[i], dp[i - j] * j), (i - j) * j);
      }
    }
    return dp[n];
  }
}

class Solution {
public:
  int integerBreak(int n) {
    vector<int> dp(n + 1);
    dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
      for (int j = 1; j < i; ++j) {
        dp[i] = max(max(dp[i], dp[i - j] * j), (i - j) * j);
      }
    }
    return dp[n];
  }
};

func integerBreak(n int) int {
  dp := make([]int, n+1)
  dp[1] = 1
  for i := 2; i <= n; i++ {
    for j := 1; j < i; j++ {
      dp[i] = max(max(dp[i], dp[i-j]*j), (i-j)*j)
    }
  }
  return dp[n]
}

function integerBreak(n: number): number {
  let dp = new Array(n + 1).fill(1);
  for (let i = 3; i <= n; i++) {
    for (let j = 1; j < i; j++) {
      dp[i] = Math.max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j]);
    }
  }
  return dp.pop();
}

impl Solution {
  pub fn integer_break(n: i32) -> i32 {
    if n < 4 {
      return n - 1;
    }
    let count = (n - 2) / 3;
    (3i32).pow(count as u32) * (n - count * 3)
  }
}

int integerBreak(int n) {
  if (n < 4) {
    return n - 1;
  }
  int count = (n - 2) / 3;
  return pow(3, count) * (n - count * 3);
}

方法二：数学

当 $n \lt 4$ 时，$n$ 不能拆分成至少两个正整数的和，因此 $n - 1$ 是最大乘积。当 $n \ge 4$ 时，我们尽可能多地拆分 $3$，当剩下的最后一段为 $4$ 时，我们将其拆分为 $2 + 2$，这样乘积最大。

时间复杂度 $O(1)$，空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def integerBreak(self, n: int) -> int:
    if n < 4:
      return n - 1
    if n % 3 == 0:
      return pow(3, n // 3)
    if n % 3 == 1:
      return pow(3, n // 3 - 1) * 4
    return pow(3, n // 3) * 2

class Solution {
  public int integerBreak(int n) {
    if (n < 4) {
      return n - 1;
    }
    if (n % 3 == 0) {
      return (int) Math.pow(3, n / 3);
    }
    if (n % 3 == 1) {
      return (int) Math.pow(3, n / 3 - 1) * 4;
    }
    return (int) Math.pow(3, n / 3) * 2;
  }
}

class Solution {
public:
  int integerBreak(int n) {
    if (n < 4) {
      return n - 1;
    }
    if (n % 3 == 0) {
      return pow(3, n / 3);
    }
    if (n % 3 == 1) {
      return pow(3, n / 3 - 1) * 4;
    }
    return pow(3, n / 3) * 2;
  }
};

func integerBreak(n int) int {
  if n < 4 {
    return n - 1
  }
  if n%3 == 0 {
    return int(math.Pow(3, float64(n/3)))
  }
  if n%3 == 1 {
    return int(math.Pow(3, float64(n/3-1))) * 4
  }
  return int(math.Pow(3, float64(n/3))) * 2
}

function integerBreak(n: number): number {
  if (n < 4) {
    return n - 1;
  }
  const m = Math.floor(n / 3);
  if (n % 3 == 0) {
    return 3 ** m;
  }
  if (n % 3 == 1) {
    return 3 ** (m - 1) * 4;
  }
  return 3 ** m * 2;
}