Question

函数的复合（Composition） :

函数和的复合:，可以理解为首先将输入给函数获得输出后将其进而输入给函数，最终获得结果。

• 几个函数的复合结果仍然是一个函数:接受输入，给出输出
• 任何函数都可以看成是若干个函数的复合
• 的定义域与的定义域相同，但值域不一定与的值域相同。

例如:,函数可以视为和复合后的结果。的值域为，但的值域为

在 Python 中我们可以很直观地对函数进行复合：

def f(x): return x+1

def g(x): return x**2

def h(x): return f(g(x))

x = np.array(range(-10,10))

# 这里我们使用了 Python 的 list comprehension 来计算 y
y = np.array([h(i) for i in x])

# 'bo' 将表示我们会使用蓝色的圆圈绘制点图，而非默认的线图
plt.plot(x, y, 'bo')

我们也可以使用 Python 的 lambda 函数功能来简明地定义:

h2 = lambda x: f(g(x))
plt.plot(x,h2(x),'rs')

逆函数（Inverse Function） :

给定一个函数，其逆函数是一个与进行复合后会得到的特殊函数。

函数与其反函数的函数图一定是关于直线对称的：

w = lambda x: x**2
winv = lambda x: sqrt(x)
x = np.linspace(0,2,100)
plt.plot(x, w(x),'b',x,winv(x),'r',x,x,'g-.')

高阶函数（Higher Order Functions） :

我们可以不局限于仅将数值作为函数的输入输出，函数本身也可以作为输入和输出。

def horizontal_shift(f,H): return lambda x: f(x-H)

上面定义的函数，接受的输入是一个函数个一个实数，而输出是一个新的函数，新函数是将沿着水平方向平移了距离后得到的。

x = np.linspace(-10,10,100)
shifted_g = horizontal_shift(g,2)
plt.plot(x,g(x),'b',x,shifted_g(x),'r')

以高阶函数的观点看去，函数的复合便是将两个函数作为输入给复合函数，然后由其产生一个新的函数作为输出。复合函数可以如此定义：

def composite(f,g): return lambda x: f(g(x))
h3 = composite(f,g)
print sum(h(x)==h3(x))==len(x)
# result: True