Question

996. 正方形数组的数目

English Version

题目描述

给定一个非负整数数组 A，如果该数组每对相邻元素之和是一个完全平方数，则称这一数组为_正方形_数组。

返回 A 的正方形排列的数目。两个排列 A1 和 A2 不同的充要条件是存在某个索引 i，使得 A1[i] != A2[i]。

 

示例 1：

输入：[1,17,8]
输出：2
解释：
[1,8,17] 和 [17,8,1] 都是有效的排列。

示例 2：

输入：[2,2,2]
输出：1

 

提示：

1. 1 <= A.length <= 12
2. 0 <= A[i] <= 1e9

解法

方法一：二进制状态压缩 + 动态规划

注意到，数组 $nums$ 的长度 $n$ 不超过 $12$，因此我们可以用一个二进制数表示当前所选的数字的状态，若第 $i$ 位为 $1$，则表示当前选择了第 $i$ 个数字，否则表示当前没有选择第 $i$ 个数字。

我们定义 $f[i][j]$ 表示当前所选的数字的状态为 $i$，且最后一个数字为 $nums[j]$ 的方案数。那么答案就是 $\sum_{j=0}^{n-1} f[2^n-1][j]$。由于最后求解的是排列数，因此还需要除以每个数字出现的次数的阶乘。

接下来，我们考虑如何进行状态转移。

假设当前所选的数字的状态为 $i$，最后一个数字为 $nums[j]$，那么我们可以枚举 $i$ 的每一位为 $1$ 的数字作为倒数第二个数，不妨设为 $nums[k]$，那么我们只需要判断 $nums[j]+nums[k]$ 是否为完全平方数即可，若是，方案数 $f[i][j]$ 就可以加上 $f[i \oplus 2^j][k]$，其中 $i \oplus 2^j$ 表示将 $i$ 的第 $j$ 位取反，即表示将 $nums[j]$ 从当前所选的数字中去除。

最后，我们还需要除以每个数字出现的次数的阶乘，因为我们在枚举 $i$ 的每一位为 $1$ 的数字时，可能会重复计算某些排列，因此需要除以每个数字出现的次数的阶乘。

时间复杂度 $O(2^n \times n^2)，空间复杂度 O(2^n \times n)$。其中 $n$ 为数组 $nums$ 的长度。

class Solution:
  def numSquarefulPerms(self, nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    f = [[0] * n for _ in range(1 << n)]
    for j in range(n):
      f[1 << j][j] = 1
    for i in range(1 << n):
      for j in range(n):
        if i >> j & 1:
          for k in range(n):
            if (i >> k & 1) and k != j:
              s = nums[j] + nums[k]
              t = int(sqrt(s))
              if t * t == s:
                f[i][j] += f[i ^ (1 << j)][k]

    ans = sum(f[(1 << n) - 1][j] for j in range(n))
    for v in Counter(nums).values():
      ans //= factorial(v)
    return ans

class Solution {
  public int numSquarefulPerms(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int[][] f = new int[1 << n][n];
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
      f[1 << j][j] = 1;
    }
    for (int i = 0; i < 1 << n; ++i) {
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if ((i >> j & 1) == 1) {
          for (int k = 0; k < n; ++k) {
            if ((i >> k & 1) == 1 && k != j) {
              int s = nums[j] + nums[k];
              int t = (int) Math.sqrt(s);
              if (t * t == s) {
                f[i][j] += f[i ^ (1 << j)][k];
              }
            }
          }
        }
      }
    }
    long ans = 0;
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
      ans += f[(1 << n) - 1][j];
    }
    Map<Integer, Integer> cnt = new HashMap<>();
    for (int x : nums) {
      cnt.merge(x, 1, Integer::sum);
    }
    int[] g = new int[13];
    g[0] = 1;
    for (int i = 1; i < 13; ++i) {
      g[i] = g[i - 1] * i;
    }
    for (int v : cnt.values()) {
      ans /= g[v];
    }
    return (int) ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int numSquarefulPerms(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    int f[1 << n][n];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
      f[1 << j][j] = 1;
    }
    for (int i = 0; i < 1 << n; ++i) {
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if ((i >> j & 1) == 1) {
          for (int k = 0; k < n; ++k) {
            if ((i >> k & 1) == 1 && k != j) {
              int s = nums[j] + nums[k];
              int t = sqrt(s);
              if (t * t == s) {
                f[i][j] += f[i ^ (1 << j)][k];
              }
            }
          }
        }
      }
    }
    long long ans = 0;
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
      ans += f[(1 << n) - 1][j];
    }
    unordered_map<int, int> cnt;
    for (int x : nums) {
      ++cnt[x];
    }
    int g[13] = {1};
    for (int i = 1; i < 13; ++i) {
      g[i] = g[i - 1] * i;
    }
    for (auto& [_, v] : cnt) {
      ans /= g[v];
    }
    return ans;
  }
};

func numSquarefulPerms(nums []int) (ans int) {
  n := len(nums)
  f := make([][]int, 1<<n)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, n)
  }
  for j := range nums {
    f[1<<j][j] = 1
  }
  for i := 0; i < 1<<n; i++ {
    for j := 0; j < n; j++ {
      if i>>j&1 == 1 {
        for k := 0; k < n; k++ {
          if i>>k&1 == 1 && k != j {
            s := nums[j] + nums[k]
            t := int(math.Sqrt(float64(s)))
            if t*t == s {
              f[i][j] += f[i^(1<<j)][k]
            }
          }
        }
      }
    }
  }
  for j := 0; j < n; j++ {
    ans += f[(1<<n)-1][j]
  }
  g := [13]int{1}
  for i := 1; i < 13; i++ {
    g[i] = g[i-1] * i
  }
  cnt := map[int]int{}
  for _, x := range nums {
    cnt[x]++
  }
  for _, v := range cnt {
    ans /= g[v]
  }
  return
}