Question

1. 推荐系统中的评级预测rating prediction 主要依赖于以下信息：谁who（哪个用户）对什么what（哪个 item，如电影、新闻、商品）如何how评级。有很多方法可以考虑关于 who （关于用户的人口统计信息，如年龄、性别、职业）、what （关于item 属性的信息，如电影类型、产品描述文本的关键词）的附加数据。

   除了有关评级事件rating event 中涉及的实体的此类数据之外，还可能存在有关评级事件发生当前情况的信息，例如当前位置location、时间、周边的人、用户当前心情等等。这些场景信息通常称作上下文 context 。因为从决策心理学知道一个人的环境和情绪确实会影响他们的行为，所以在推荐系统中利用上下文信息是可取的。上下文感知评级预测context-aware rating prediction 依赖于谁who在何种上下文context下如何how评价什么what的信息。

   经典的推荐系统方法不考虑上下文信息。一些方法执行数据的预处理 pre-processing或后处理post-processing，使得标准方法具有上下文感知能力。虽然这种临时解决方案可能在实践中起作用，但是它们的缺点是过程中的所有步骤都需要监督和微调。

   将各种输入数据统一到一个模型中的方法在这方面更为实用，理论上也更为优雅。目前，在预测准确性方面最灵活和最强的方法是 Multiverse Recommendation ，它依赖于 Tucker 分解并允许使用任何离散型上下文categorical context 。然而，对于现实世界的场景，它的计算复杂度 $ O(d^K) $ 太高了，其中 $ d $ 是因子分解的维度， $ K $ 是所涉及变量的数量。

   在论文 《Fast Context-aware Recommendations with Factorization Machines》 中，作者提出了一种基于分解机 Factorization Machine: FM 的上下文感知评级预测器。FM 包括并可以模拟推荐系统中最成功的方法，包括句子分解 matrix factorizion: MF、SVD++、PITF 。

   • 作者展示了 FM 如何应用于各种上下文字段，包括离散型categorical 字段、离散集合set categorical 字段、实值real-valued 字段。相比之下， Multiverse Recommendation 模型只适合于离散型 categorical 上下文变量。

   • 除了建模的灵活性之外，FM 的复杂度在 $ d $ 和 $ K $ 上都是线性的（即 $ O(dK) $ ），这允许使用上下文感知数据进行快速预测和学习。相比之下， Multiverse Recommendation 模型的复杂度是 $ P(d^K) $ ，在 $ d $ 上是多项式的。

   • 为了学习 FM 模型的参数，论文提出了一种基于交替最小二乘法 alternating least squares: ALS 的新算法。新算法在给定其它参数的情况下找到一个参数的最优解，并且在几次迭代之后找到所有参数联合最优解。

     和随机梯度下降 stochastic gradient descent: SGD 一样，新算法单次迭代的复杂度为 $ O(|\mathbb S|dK) $ ，其中 $ |\mathbb S| $ 为训练样本的数量。

     和 SGD 相比，新算法的主要优点是无需确定学习率。这在实践中非常重要，因为 SGD 学习的质量在很大程度上取决于良好的学习率，因此必须进行代价昂贵的搜索。这对于 ALS 来讲不是必需的。

   • 最后，论文的实验表明：上下文感知 FM 可以捕获上下文信息并提高预测准确性。此外 FM 在预测质量和运行时间方面都优于 state-of-the-art 的方法 Multiverse Recommendation 。

3.1 相关工作

1. 推荐系统的大多数研究都集中在仅分析 user-item 交互的上下文无关方法上。在这里，矩阵分解matrix factorization: MF方法非常流行，因为它们通常优于传统的 knn 方法。

   也有研究将用户属性或 item 属性等元数据结合到预测中，从而扩展了矩阵分解模型。然而，如果存在足够的反馈数据，元数据对评分预测的强 baseline 方法通常只有很少或者没有改善。这种用户属性/item 属性和上下文之间的区别在于：属性仅仅被附加到 item 或者用户（例如，给电影附加一个流派的属性），而上下文被附加到整个评级事件（如，当评级发生时用户当时的心情）。

   和关于标准推荐系统的大量文献相比，上下文感知推荐系统的研究很少。最基本的方法是上下文预过滤pre-filtering 和后过滤 post-filtering，其中应用标准的上下文无关推荐系统，并在应用推荐器recommender 之前基于感兴趣的上下文对数据进行预处理、或者对结果进行后处理。更复杂的方法是同时使用所有上下文和 user-item 信息来进行预测。

   也有人建议将上下文视为动态的用户特征，即可以动态变化。另外有一些关于 item 预测的上下文感知推荐系统的研究，将推荐视为一个排序任务，而本文将推荐视为回归任务。

2. Multiverse Recommendation 基于Tucker 分解技术来直接分解用户张量、item 张量、所有离散上下文变量的张量，从而求解该问题。它将原始的评分矩阵分解为一个小的矩阵 $ \mathbf B $ 和 $ K $ 个因子矩阵 $ \mathbf V^{(k)} $ ：

   $ \hat y =f(u,i,c_3,\cdots,c_K) = \sum_{l_1=1}^{d_1}\cdots\sum_{l_K=1}^{d_K}b_{l_1,\cdots,l_K} \times\left[ v_{u,l_1}^{(U)}\times v_{i,l_2}^{(I)}\times \prod_{k=3}^Kv_{c_k,l_k}^{(C_k)}\right] $

   其中：

   $ \mathbf B\in \mathbb R^{d_1\times d_2\times\cdots\times d_K}\\ \mathbf V^{(U)} \in \mathbb R^{M \times d_1},\mathbf V^{(I)} \in \mathbb R^{N \times d_2},\mathbf V^{(C_k)} \in \mathbb R^{|\mathbb C_k| \times d_k} $

   这种方式存在三个问题：

   • 计算复杂度太高：假设每个特征的维度都是 $ d $ ，则计算复杂度为 $ O(d^K) $ 。一旦上下文特征数量 $ K $ 增加，则计算复杂度指数型增长。
   • 仅能对离散型 categorical 上下文特征建模：无法处理数值型特征、离散集合型 categorical set 特征。
   • 交叉特征高度稀疏：这里执行的是 K 路特征交叉（前面的 POLY2 模型是两路特征交叉），由于真实应用场景中单个特征本身就已经很稀疏，K 路特征交叉使得数据更加稀疏，难以准确的预估模型参数。

3. Attribute-aware Recommendation：与通用上下文感知方法的工作对比，对属性感知或专用推荐系统的研究要多得多。有一些工作可以处理用户属性和 item 属性的矩阵分解模型的扩展，还有一些关于考虑时间效应的工作。然而，所有这些方法都是为特定问题设计的，无法处理我们在本工作中研究的上下文感知推荐的通用设置。

   当然，对于特定的和重要的问题（如时间感知推荐或属性感知推荐），专用模型的研究是有益的。但是另一方面，研究上下文感知的通用方法也很重要，因为它们提供了最大的灵活性，并且可以作为专用模型的强 baseline 。

4. Alternating Least Square Optimization：对于矩阵分解模型，Bell 和 Koren 提出了一种交替优化所有 user factor 和所有 item factor 的 ALS 方法。由于所有user/item 的整个 factor matrix 是联合优化的，因此计算复杂度为 $ O(d^3) $ 。标准 ALS 的这种复杂度问题是 SGD 方法在推荐系统文献中比 ALS 更受欢迎的原因。

   Pilaszy 等人提出一个接一个地优化每个user/item 中的 factor，这导致 ALS 算法复杂度为 $ O(d) $ ，因为避免了矩阵求逆。一次优化一个factor 的思路与我们将 ALS 算法应用于FM 的思路相同。

   这两种方法仅适用于矩阵分解，因此无法处理任何上下文，例如我们提出的对所有交互进行建模的 FM 中的上下文。此外，我们的 ALS 算法还学习了全局bias 和基本的 1-way 效应。

3.2 模型

1. FM 模型是一个通用模型，它包含并可以模拟几个最成功的推荐系统，其中包括矩阵分解 matrix factorization: MF、SVD++、PITF。我们首先简要概述了 FM 模型，然后详细展示了如何将其应用于上下文感知数据，以及在 FM 中使用这种上下文感知数据会发生什么。最后我们提出了一种新的快速 alternating least square: ALS 算法，和 SGD 算法相比它更容易应用，因为它不需要学习率。

3.2.1 FM 模型

1. 推荐系统面临的问题是评分预测问题。给定用户集合 $ \mathbb U=\{u_1,u_2,\cdots,u_M\} $ 、物品集合 $ \mathbb I = \{i_1,i_2,\cdots,i_N\} $ ，模型是一个评分函数：

   $ f:\mathbb U\times \mathbb I\rightarrow \mathbb R $

   $ y=f(u,i) $ 表示用户 $ u $ 对物品 $ i $ 的评分。

   其中已知部分用户在部分物品上的评分： $ \mathbb S \in \mathbb U\times \mathbb I, \forall (u,i)\in \mathbb S,\tilde y=f(u,i) $ 。目标是求解剩余用户在剩余物品上的评分：

   $ \hat y = f(u,i) ,\;\forall(u,i) \in \complement_\mathbb S $

   其中 $ \complement_\mathbb S $ 为 $ \mathbb S $ 的补集。

   • 通常评分问题是一个回归问题，模型预测结果是评分的大小。此时损失函数采用MAE/MSE 等等。

     也可以将其作为一个分类问题，模型预测结果是各评级的概率。此时损失函数是交叉熵。

   • 当评分只有 0 和 1 时，这表示用户对商品 “喜欢/不喜欢”，或者 “点击/不点击”。这就是典型的点击率预估问题。

2. 事实上除了已知部分用户在部分物品上的评分之外，通常还能够知道一些有助于影响评分的额外信息。如：用户画像、用户行为序列等等。这些信息称作上下文 context 。

   对每一种上下文，我们用变量 $ c \in \mathbb C $ 来表示， $ \mathbb C $ 为该上下文的取值集合。假设所有的上下文为 $ \mathbb C_3,\cdots,\mathbb C_K $ ，则模型为：

   $ f:\mathbb U\times \mathbb I \times \mathbb C_3\times\cdots\times\mathbb C_K\rightarrow \mathbb R $

   上下文的下标从 3 开始，因为可以任务用户 $ u $ 和商品 $ i $ 也是上下文的一种。

   如下图所示为评分矩阵，其中：

   $ \mathbb U = \{\text{A},\text{B},\text{C}\},\quad \mathbb I = \{\text{TI},\text{NH},\text{SW},\text{ST}\}\\ \mathbb C_3 = \{\text{S},\text{N},\text{H}\},\quad \mathbb C_4 = \{\text{A},\text{B},\text{C}\}\\ y\in \{1,2,3,4,5\} $

   所有离散特征都经过one-hot 特征转换。

   

3. 上下文特征 context 类似属性 property 特征，它和属性特征的区别在于：

   • 属性特征是作用到整个用户（用户属性）或者整个物品（物品属性），其粒度是用户级别或者物品级别。

     如：无论用户 “张三” 在在评分矩阵中出现多少次，其性别属性不会发生改变。

   • 上下文特征是作用到用户的单个评分事件上，粒度是事件级别，包含的评分信息更充足。

     如：用户 ”张三“ 在评价某个电影之前已经看过的电影，该属性会动态改变。

   事实上属性特征也称作静态画像，上下文特征也称作动态画像。业界主流的做法是：融合静态画像和动态画像。

   另外，业界的经验表明：动态画像对于效果的提升远远超出静态画像。

4. 和 POLY2 相同FM 也是对二路特征交叉进行建模，但是FM 的参数要比 POLY2 少得多。

   将样本重写为：

   $ \mathbf{\vec x} =(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_K)^T =(u,i,c_3,\cdots,c_K)^T $

   则 FM 模型为：

   $ \hat y(\mathbf{\vec x}) = w_0 + \sum_{i=1}^K w_i\times x_i + \sum_{i=1}^K\sum_{j=i+1}^K \hat w_{i,j}\times x_i\times x_j $

   其中 $ \hat w_{i,j} $ 是交叉特征的参数，它由一组参数定义：

   $ \hat w_{i,j} = <\mathbf{\vec v}_i,\mathbf{\vec v}_j> = \sum_{l=1}^d v_{i,l}\times v_{j,l} $

   即：

   $ \hat{\mathbf W} = \begin{bmatrix} \hat w_{1,1}& \hat w_{1,2}&\cdots&\hat w_{1,K}\\ \hat w_{2,1}& \hat w_{2,2}&\cdots&\hat w_{2,K}\\ \vdots & \vdots&\ddots&\vdots\\ \hat w_{K,1}& \hat w_{K,2}&\cdots&\hat w_{K,K}\\ \end{bmatrix} = \mathbf V^T\mathbf V = \begin{bmatrix} \mathbf{\vec v}_1^T\\ \mathbf{\vec v}_2^T\\ \vdots\\ \mathbf{\vec v}_K^T \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\mathbf{\vec v}_1&\mathbf{\vec v}_2&\cdots& \mathbf{\vec v}_K \end{bmatrix} $

   模型待求解的参数为：

   $ w_0\in \mathbb R,\mathbf{\vec w}\in \mathbb R^K\\ \mathbf V = (\mathbf{\vec v}_1,\cdots,\mathbf{\vec v}_K) \in \mathbb R^{d\times K} $

   其中：

   • $ w_0 $ 表示全局偏差。
   • $ w_i $ 用于捕捉第 $ i $ 个特征和目标之间的关系。
   • $ \hat w_{i,j} $ 用于捕捉 $ (i,j) $ 二路交叉特征和目标之间的关系。
   • $ \mathbf{\vec v}_i $ 代表特征 $ i $ 的representation vector，它是 $ \mathbf V $ 的第 $ i $ 列。

5. FM 模型的计算复杂度为 $ O(K\times K\times d) = O(K^2d) $ ，但是经过数学转换之后其计算复杂度可以降低到 $ O(Kd) $ ：

   $ \sum_{i=1}^K\sum_{j=i+1}^K \hat w_{i,j}\times x_i\times x_j = \sum_{i=1}^K\sum_{j=i+1}^K\sum_{l=1}^d v_{i,l}\times v_{j,l}\times x_i\times x_j\\ = \sum_{l=1}^d \left(\sum_{i=1}^K\sum_{j=i+1}^K (v_{i,l}\times x_i) \times (v_{j,l}\times x_j)\right)\\ = \sum_{l=1}^d \frac 12\left(\left(\sum_{i=1}^Kv_{i,l}\times x_i\right)^2 - \sum_{i=1}^K v_{i,l}^2\times x_{i}^2\right) $

   因此有：

   $ \hat y(\mathbf{\vec x}) = w_0 + \sum_{i=1}^K w_i\times x_i +\frac 12 \sum_{l=1}^d\left(\left(\sum_{i=1}^Kv_{i,l}\times x_i\right)^2 - \sum_{i=1}^K v_{i,l}^2\times x_{i}^2\right) $

   其计算复杂度为 $ O(Kd) $ 。

6. 将 FM 模型和标准的矩阵分解模型进行比较，可以看到：FM 也恰好包含这种分解 $ <\mathbf{\vec v}_i,\mathbf{\vec v}_u> $ 。此外，FM 模型还包含了所有上下文变量的所有 pair 对的交互。这表明 FM 自动包含了矩阵分解模型。

7. FM 模型可以用于求解分类问题（预测各评级的概率），也可以用于求解回归问题（预测各评分大小）。

   • 对于回归问题，其损失函数为MSE 均方误差：

     $ \mathcal L = \sum_{(\mathbf{\vec x},y)\in \mathbb S} \left(\hat y(\mathbf{\vec x}) - y\right)^2 + \sum_{\theta\in \mathbf \Theta} \lambda_{\theta} \times \theta^2 $

   • 对于二分类问题，其损失函数为交叉熵：

     $ \phi (\mathbf{\vec x}) = w_0 + \sum_{i=1}^K w_i\times x_i +\frac 12 \sum_{l=1}^d\left(\left(\sum_{i=1}^Kv_{i,l}\times x_i\right)^2 - \sum_{i=1}^K v_{i,l}^2\times x_{i}^2\right)\\ p(\hat y = y\mid \mathbf{\vec x}) = \frac{1}{1+\exp({-y\phi(\mathbf{\vec x})})} \\ \mathcal L = \left(- \sum_{(\mathbf{\vec x},y)\in \mathbb S} \log p(\hat y = y\mid \mathbf{\vec x})\right) + \sum_{\theta\in \mathbf \Theta} \lambda_{\theta} \times \theta^2 $

     其中：

     • 评级集合为 $ y\in \{-1,1 \} $ 一共两个等级。
     • $ p(\hat y=y\mid \mathbf{\vec x}) $ 为样本 $ \mathbf{\vec x} $ 预测为评级 $ y $ 的概率，满足：
   $ p(\hat y = 1 \mid \mathbf{\vec x}) = \frac{1}{1+\exp({-\phi(\mathbf{\vec x})})} \\ p(\hat y = -1 \mid \mathbf{\vec x}) = \frac{1}{1+\exp({\phi(\mathbf{\vec x})})} $

   损失函数最后一项是正则化项，为了防止过拟合， $ \mathbf \Theta = \{w_0,\mathbf{\vec w}, \mathbf V\} $ 。其中 $ \lambda_\theta $ 为参数 $ \theta $ 的正则化系数，它是模型的超参数。

   可以针对每个参数配置一个正则化系数，但是选择合适的值需要进行大量的超参数选择。论文推荐进行统一配置：

   • 对于 $ w_0 $ ，正则化系数为 $ \lambda_{w_0} = 0 $ ，这表示不需要对全局偏差进行正则化。
   • 对于 $ w_i $ ，统一配置正则化系数为 $ \lambda_w $ 。
   • 对于 $ v_{i,l} $ ，统一配置正则化系数为 $ \lambda_v $ 。

8. FM 模型可以处理不同类型的特征：

   • 离散型特征 categorical：FM 对离散型特征执行 one-hot 编码。

     如，性别特征：“男” 编码为 (0,1)，“女” 编码为 (1,0) 。

   • 离散集合特征 categorical set：FM 对离散集合特征执行类似 one-hot 的形式，但是执行样本级别的归一化。

     如，看过的历史电影。假设电影集合为：“速度激情9，战狼，泰囧，流浪地球”。如果一个人看过 “战狼，泰囧，流浪地球”， 则编码为 (0,0.33333,0.33333,0.33333) 。

   • 数值型特征 real valued：FM直接使用数值型特征，不做任何编码转换。

9. FM 的优势：

   • 给定特征 representation 向量的维度时，预测期间计算复杂度是线性的。

   • 在交叉特征高度稀疏的情况下，参数仍然能够估计。

     因为交叉特征的参数不仅仅依赖于这个交叉特征，还依赖于所有相关的交叉特征。这相当于增强了有效的学习数据。

   • 能够泛化到未被观察到的交叉特征。

     设交叉特征 “看过电影 A且 年龄等于20” 从未在训练集中出现，但出现了 “看过电影 A” 相关的交叉特征、以及 “年龄等于20” 相关的交叉特征。

     于是可以从这些交叉特征中分别学习 “看过电影 A” 的 representation 、 “年龄等于20”的 representation，最终泛化到这个未被观察到的交叉特征。

3.2.2 ALS 优化算法

a. 最优化解

1. FM 的目标函数最优化可以直接采用随机梯度下降 SGD 算法求解，但是采用 SGD 有个严重的问题：需要选择一个合适的学习率。

   • 学习率必须足够大，从而使得 SGD 能够尽快的收敛。学习率太小则收敛速度太慢。

   • 学习率必须足够小，从而使得梯度下降的方向尽可能朝着极小值的方向。

     由于 SGD 计算的梯度是真实梯度的估计值，引入了噪音。较大的学习率会放大噪音的影响，使得前进的方向不再是极小值的方向。

   我们提出了一种新的交替最小二乘 alternating least square:ALS 算法来求解 FM 目标函数的最优化问题。与 SGD 相比ALS 优点在于无需设定学习率，因此调参过程更简单。

2. 根据定义：

   $ \hat y(\mathbf{\vec x};\mathbf \Theta) = w_0 + \sum_{i=1}^K w_i\times x_i +\frac 12 \sum_{l=1}^d\left(\left(\sum_{i=1}^Kv_{i,l}\times x_i\right)^2 - \sum_{i=1}^K v_{i,l}^2\times x_{i}^2\right) $

   对每个 $ \theta \in \mathbf \Theta = \{w_0,\mathbf{\vec w}, \mathbf V\} $ ，可以将 $ \hat y $ 分解为 $ \theta $ 的线性部分和偏置部分：

   $ \hat y(\mathbf{\vec x};\mathbf \Theta) = h_{\theta}(\mathbf{\vec x}) \times \theta +g_\theta(\mathbf{\vec x}) $

   其中 $ g_\theta(\mathbf{\vec x}), h_\theta(\mathbf{\vec x}) $ 与 $ \theta $ 无关。如：

   • 对于 $ w_0 $ 有：

     $ h_{w_0} = 1\\ g_{w_0} = \sum_{i=1}^K w_i\times x_i +\frac 12 \sum_{l=1}^d\left(\left(\sum_{i=1}^Kv_{i,l}\times x_i\right)^2 - \sum_{i=1}^K v_{i,l}^2\times x_{i}^2\right) $

   • 对于 $ w_i,i=1,2\cdots,K $ 有：

     $ h_{w_i} = x_i\\ g_{w_i} = w_0 + \sum_{j=1,j\ne i}^K w_j\times x_j +\frac 12 \sum_{l=1}^d\left(\left(\sum_{j=1}^Kv_{j,l}\times x_j\right)^2 - \sum_{j=1}^K v_{j,l}^2\times x_{j}^2\right) $

   • 对于 $ v_{i,l}, i=1,2,\cdots,K,l=1,2,\cdots,d $ 有：

     $ h_{v_{i,l}} = \sum_{j=1,j\ne i}^K v_{j,l} \times x_j\times x_i\\ g_{v_{i,l}} = w_0 + \sum_{j=1}^K w_j\times x_j +\sum_{i^\prime=1}^K\sum_{j^\prime=i^\prime+1}^K\sum_{\substack{l^\prime=1,\\ l^\prime\ne l \;\&\; i^\prime \ne i \;\&\; j^\prime \ne i }}^d v_{i^\prime,l^\prime}\times v_{j^\prime,l^\prime}\times x_{i^\prime}\times x_{j^\prime} $

   因此有：

   $ \frac{\partial \hat y(\mathbf{\vec x};\mathbf \Theta)}{\partial \theta} = h_\theta(\mathbf{\vec x}) $

   考虑均方误差损失函数：

   $ \mathcal L = \sum_{(\mathbf{\vec x},y)\in \mathbb S} \left(\hat y(\mathbf{\vec x};\mathbf \Theta) - y\right)^2 + \sum_{\theta\in \mathbf \Theta} \lambda_{\theta} \times \theta^2 $

   最小值点的偏导数为 0 ，有：

   $ \frac{\partial L}{\partial \theta} = 2\sum_{(\mathbf{\vec x},y)\in \mathbb S} \left(\hat y(\mathbf{\vec x};\mathbf \Theta) - y\right)\times \frac{\partial \hat y(\mathbf{\vec x};\mathbf \Theta)}{\partial \theta} + 2\times \lambda_{\theta} \times \theta = 0 $

   则有：

   $ \theta = - \frac{\sum_{(\mathbf{\vec x},y)\in \mathbb S}(g_\theta(\mathbf{\vec x})-y)\times h_\theta(\mathbf{\vec x}) }{\left(\sum_{(\mathbf{\vec x},y)\in \mathbb S} h^2_\theta(\mathbf{\vec x})\right)+\lambda_\theta } $

3. ALS 通过多轮次、轮流迭代求解 $ \theta \in \mathbf \Theta = \{w_0,\mathbf{\vec w}, \mathbf V\} $ 即可得到模型的最优解。

   • 在迭代之前初始化参数，其中： $ w_0,\mathbf{\vec w} $ 通过零初始化， $ \mathbf V $ 的每个元素通过均值为0、方差为 $ \sigma $ 的正太分布随机初始化。

   • 每一轮迭代时：

     • 首先求解 $ w_0,\mathbf{\vec w} $ ，因为相对于二阶交叉的高阶特征，低阶特征有更多的数据来估计其参数，因此参数估计更可靠。

     • 然后求解 $ \mathbf V $ 。这里按照维度优先的准确来估计：先估计所有 representation 向量的第 1 维度，然后是第 2 维，... 最后是第 d 维。

       这是为了计算优化的考量。

b. 计算优化

1. 直接求解 ALS 的解时复杂度较高：在每个迭代步中计算每个训练样本的 $ g_\theta(\mathbf{\vec x}) $ 和 $ h_\theta(\mathbf{\vec x}) $ 。

   对于每个样本，求解 $ g_\theta(\mathbf{\vec x}) $ 和 $ h_\theta(\mathbf{\vec x}) $ 的计算复杂度为：

   • 计算 $ h_{w_0}(\mathbf{\vec x}) $ 的复杂度为 $ O(1) $ ，计算 $ g_{w_0}(\mathbf{\vec x}) $ 的复杂度为 $ O(Kd) $ 。
   • 计算 $ h_{w_i}(\mathbf{\vec x}) $ 的复杂度为 $ O(1) $ ，计算 $ g_{w_i}(\mathbf{\vec x}) $ 的复杂度为 $ O(Kd) $ 。
   • 计算 $ h_{v_{i,l}}(\mathbf{\vec x}) $ 的复杂度为 $ O(K) $ ，计算 $ g_{v_{i,l}}(\mathbf{\vec x}) $ 的复杂度为 $ O(K^2d) $ 。

   因此求解 $ \theta $ 的计算复杂度为 $ O(|\mathbb S|\times K^2\times d) $ 。

2. 有三种策略来降低求解 $ \theta $ 的计算复杂度，从 $ O(|\mathbb S|\times K^2\times d) $ 降低到 $ O(|\mathbb S|\times \bar K\times d) $ ，其中 $ \bar K $ 表示平均非零特征的数量：

   • 利用预计算的误差项 $ e $ 降低 $ (g_\theta(\mathbf{\vec x})-y) $ 的计算代价 。
   • 利用预计算的 $ q $ 项降低交叉特征的 $ h_\theta $ 的计算代价。
   • 利用数据集 $ \mathbb S $ 的稀疏性降低整体计算代价。

3. 预计算误差项 $ e $ ：

   定义误差项：

   $ e(\mathbf{\vec x},y;\mathbf \Theta) := \hat y(\mathbf{\vec x}; \mathbf \Theta) - y $

   考虑到 $ \hat y(\mathbf{\vec x};\mathbf \Theta) = h_{\theta}(\mathbf{\vec x}) \times \theta +g_\theta(\mathbf{\vec x}) $ ，则有：

   $ g_\theta(\mathbf{\vec x})-y = e(\mathbf{\vec x},y;\mathbf \Theta) - \theta\times h_\theta(\mathbf{\vec x}) $

   因此如果计算 $ e(\mathbf{\vec x},y;\mathbf \Theta) $ 的计算代价较低，则计算 $ (g_\theta(\mathbf{\vec x})-y) $ 的计算复杂度也会降低。

   • 首先对每个样本，计算其初始误差：

     $ \mathbf{\vec e} = \left(e(\mathbf{\vec x}_1,y_1;\mathbf \Theta ),\cdots,e(\mathbf{\vec x}_{|\mathbb S|},y_{|\mathbb S|};\mathbf \Theta )\right)^T \in \mathbb R^{|\mathbb S|} $

     考虑到 $ \hat y $ 的计算复杂度为 $ O(K\times d) $ ，因此 $ \mathbf{\vec e} $ 的计算复杂度为 $ O(|\mathbb S|\times K\times d) $ 。

   • 当参数 $ \theta $ 更新到 $ \theta^* $ 时，重新计算误差：

     $ e(\mathbf{\vec x},y;\mathbf \Theta^*) = \hat y(\mathbf{\vec x}; \mathbf \Theta^*) - y = h_{\theta}(\mathbf{\vec x}) \times \theta^* +g_\theta(\mathbf{\vec x}) - y\\ = h_{\theta}(\mathbf{\vec x}) \times \theta+g_\theta(\mathbf{\vec x}) - y + h_{\theta}(\mathbf{\vec x})(\theta^*-\theta)\\ = e(\mathbf{\vec x},y;\mathbf \Theta) + h_{\theta}(\mathbf{\vec x})(\theta^*-\theta) $

     计算代价由 $ h_\theta(\mathbf{\vec x}) $ 决定 （根据下面的讨论，其计算复杂度为 $ O(1) $ ）。

4. 预计算 $ q $ 值：

   如果能够降低计算 $ h_\theta(\mathbf{\vec x}) $ 的代价，则整体计算复杂度可以进一步降低。由于 $ h_{w_0}(\mathbf{\vec x}),h_{w_i}(\mathbf{\vec x}) $ 的复杂度为 $ O(1) $ ，因此重点考虑 $ h_{v_{i,l}}(\mathbf{\vec x}) $ 的计算复杂度。

   重写 $ h_{v_{i,l}} (\mathbf{\vec x}) $ ，有：

   $ h_{v_{i,l}}(\mathbf{\vec x}) = \sum_{j=1,j\ne i}^K v_{j,l} \times x_j\times x_i = x_i\times \left[\sum_{j=1 }^K v_{j,l} \times x_j\right] - v_{i,l}\times x_i^2 $

   定义：

   $ q(\mathbf{\vec x},l;\mathbf\Theta) := \sum_{j=1}^Kv_{j,l}\times x_j $

   因此如果计算 $ q(\mathbf{\vec x},l;\mathbf\Theta) $ 的计算代价较低，则 $ h_{v_{i,l}}(\mathbf{\vec x}) $ 的计算复杂度也会降低。

   • 对每个样本、每个representation 向量维度计算初始 $ q $ 值：

     $ \mathbf Q= \begin{bmatrix} q(\mathbf{\vec x}_1,1;\mathbf\Theta)&q(\mathbf{\vec x}_1,2;\mathbf\Theta)&\cdots& q(\mathbf{\vec x}_1,d;\mathbf\Theta)\\ q(\mathbf{\vec x}_2,1;\mathbf\Theta)&q(\mathbf{\vec x}_2,2;\mathbf\Theta)&\cdots& q(\mathbf{\vec x}_2,d;\mathbf\Theta)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ q(\mathbf{\vec x}_{|\mathbb S|},1;\mathbf\Theta)&q(\mathbf{\vec x}_{|\mathbb S|},2;\mathbf\Theta)&\cdots& q(\mathbf{\vec x}_{|\mathbb S|},d;\mathbf\Theta) \end{bmatrix}\in \mathbb R^{|\mathbb S|\times d} $

     计算复杂度为 $ O(|\mathbb S|\times K\times d) $ 。

   • 当参数 $ v_{j,l} $ 更新到 $ v_{j,l}^* $ 时，重新 $ q $ 值：

     $ q(\mathbf{\vec x},l;\mathbf\Theta ^*)= q(\mathbf{\vec x},l;\mathbf\Theta) +(v_{j,l}^* - v_{j,l})\times x_l $

     计算代价为 $ O(1) $ 。

   • 一旦得到 $ q(\mathbf{\vec x},l;\mathbf\Theta) $ ，则有：

     $ h_{v_{i,l}}(\mathbf{\vec x}) = q(\mathbf{\vec x},l;\mathbf\Theta) - v_{i,l}\times x_i^2 $

     计算代价为 $ O(1) $ 。

5. 数据集 $ \mathbb S $ 的稀疏性：

   根据：

   $ \theta = - \frac{\sum_{(\mathbf{\vec x},y)\in \mathbb S}(g_\theta(\mathbf{\vec x})-y)\times h_\theta(\mathbf{\vec x}) }{\left(\sum_{(\mathbf{\vec x},y)\in \mathbb S} h^2_\theta(\mathbf{\vec x})\right)+\lambda_\theta } $

   • 对于 $ w_0 $ ，其计算复杂度为 $ O(|\mathbb S|\times K) $

     $ w_0\leftarrow \frac{\sum_{(\mathbf{\vec x},y)\in \mathbb S}\left[e(\mathbf{\vec x},y;\mathbf \Theta)-w_0\right] }{|\mathbb S|+\lambda_{w_0} } $

   • 对于 $ w_i,v_{i,l} $ ， 我们只需要迭代 $ \mathbb S $ 中 $ h_\theta(\mathbf{\vec x}) \ne 0 $ 的样本，即 $ x_i \ne 0 $ 的样本。

     因此每次更新只需要使用部分样本。总体而言，整体复杂度为 $ O(|\mathbb S|\times \bar K\times d) $ ，其中 $ \bar K $ 表示平均非零特征的数量。

6. ALS 优化算法：

   • 输入：

     • 训练样本 $ \mathbb S $
     • $ \mathbf V $ 随机初始化的方差 $ \sigma $

   • 输出：模型参数 $ w_0,\mathbf{\vec w},\mathbf V $

   • 算法步骤：

     • 参数初始化：

       $ w_0 \leftarrow 0\\ w_i \leftarrow 0,i=1,2,\cdots,K\\ v_{i,l} \leftarrow \mathcal N(0,\sigma),i=1,\cdots,K;l=1,\cdots,d\\ $

     • 初始化 $ \mathbf{\vec e},\mathbf Q $ ：

       $ e(\mathbf{\vec x},y;\mathbf \Theta) \leftarrow \hat y(\mathbf{\vec x},y)-y,\quad (\mathbf{\vec x},y)\in \mathbb S\\ q(\mathbf{\vec x},l;\mathbf\Theta) \leftarrow \sum_{i=1}^K v_{i,l}\times x_i,\quad (\mathbf{\vec x},y)\in \mathbb S,l=1,2,\cdots,d $

     • 迭代直至目标函数收敛或者达到指定步数，每一轮迭代过程为：

       • 更新 $ w_0 $ ：

         $ w_0^* \leftarrow - \frac{\sum_{(\mathbf{\vec x},y)\in \mathbb S}\left[e(\mathbf{\vec x},y;\mathbf \Theta)-w_0\right] }{|\mathbb S|+\lambda_{w_0} }\\ e(\mathbf{\vec x},y;\mathbf \Theta^*) \leftarrow e(\mathbf{\vec x},y;\mathbf \Theta ) +(w_0^* -w_0)\\ w_0\leftarrow w_0^* $

       • 更新 $ w_i,i=1,2\cdots,K $ ：

         $ w_i^* = - \frac{\sum_{(\mathbf{\vec x},y)\in \mathbb S}(e(\mathbf{\vec x},y;\mathbf \Theta) - w_i\times x_i)\times x_i}{\left(\sum_{(\mathbf{\vec x},y)\in \mathbb S} x_i^2\right)+\lambda_{w_i} }\\ e(\mathbf{\vec x},y;\mathbf \Theta^*) \leftarrow e(\mathbf{\vec x},y;\mathbf \Theta ) +(w_i^* -w_i)\times x_i\\ w_i\leftarrow w_i^* $

       • 更新 $ v_{i,l},i=1,\cdots,K;l=1,\cdots,d $ ：

         外层循环为 $ l $ ，内层循环为 $ i $ 。这是为了充分利用 $ q(\mathbf{\vec x},l;\mathbf \Theta) $ 。

         $ h_{v_{i,l}}(\mathbf{\vec x}) = q(\mathbf{\vec x},l;\mathbf\Theta) - v_{i,l}\times x_i^2\\ v_{i,l}^* = - \frac{\sum_{(\mathbf{\vec x},y)\in \mathbb S}[e(\mathbf{\vec x},y;\mathbf \Theta) -v_{i,l}\times h_{v_{i,l}}(\mathbf{\vec x})]\times h_{v_{i,l}}(\mathbf{\vec x}) }{\left(\sum_{(\mathbf{\vec x},y)\in \mathbb S} h^2_{v_{i,l}}(\mathbf{\vec x})\right)+\lambda_{v_{i,l}} }\\ e(\mathbf{\vec x},y;\mathbf \Theta^*) \leftarrow e(\mathbf{\vec x},y;\mathbf \Theta ) +(v_{i,l}^* -v_{i,l})\times x_i\\ q(\mathbf{\vec x},l;\mathbf \Theta^*) \leftarrow q(\mathbf{\vec x},l;\mathbf \Theta ) +(v_{i,l}^* -v_{i,l})\times x_i\\ v_{i,l} \leftarrow v_{i,l}^* $

   .

3.3 实验

1. 在本节中，我们根据实验研究了和 state-of-the-art 的上下文感知方法 Multiverse Recommendation 的对比。此外，我们检查了 SGD 对学习率选择的敏感性，以及我们的 ALS 优化是否可以在没有学习率这个超参数的情况下成功工作。

2. 数据集：

   • Food 数据集：包含 212 个用户对 20 个菜单 item 的 6360 个评分（从 1 分到 5 分），其中包含两个上下文变量：第一个上下文变量捕获用户评分的场景是虚拟的 virtual 还是真实的 real（即用户想象自己饿了、还是用户真的饿了）；第二个上下文变量刻画用户的饥饿程度。
   • Adom 数据集：包含 1524 个电影评分（从 1 分到 15 分），其中包含五个上下文变量，这些上下文变量关于同伴、工作日、以及其它时间信息。
   • Yahoo! Webscope 数据集：包含 221367 个评分。我们遵循 《Multiverse recommendation: n-dimensional tensor factorization for context-aware collaborative filtering》 并应用他们的方法来处理数据集。我们生成 $ \alpha=\beta\in \{0.1,\cdots,0.9\} $ 一共九个数据集。

3. baseline 方法：我们将 context-aware FM 和 Multiverse Recommendation 进行比较。注意：Multiverse Recommendation 已经在上述三个数据集上超越了其它上下文感知推荐算法。

   我们使用 FM no-context作为上下文无感context-unaware 的 baseline，其中仅使用用户变量和 item 变量生成特征向量，这相当于具有 bias 项的矩阵分解。这是最强的上下文无关推荐算法之一。

   FM 使用我们提出的 ALS 算法进行优化，Multiverse Recommendation 使用原始论文中提出的 SGD 算法来学习。

4. 评估方式：我们从每个数据集中删除了 5% 的样本，用作调优超参数以获得最佳 MAE 的验证集。在超参数搜索之后，我们对剩下的 95% 数据集进行 5-fold 交叉验证，即不再使用验证集。我们报告了 5 次实验的平均 RMSE 和 MAE。

   所有方法都是 C++ 实现的，并在相同的硬件上运行。我们使用 ALS 优化的 FM 实现、Multiverse Recommendation 实现和数据集生成脚本可以从我们的网站上下载。

5. ALS vs SGD：我们在 Webscope 数据集上将 SGD 实现的测试误差和我们的 ASL 方法进行了比较，实验结果如下图所示。左图绘制了三种学习率选择的测试误差曲线，右侧的两个图分别显示了在 10 次和100次迭代后不同学习率得到的测试误差曲线（由于 ALS 没有学习率超参数，因此表现为一条水平直线）。可以看到：

   • SGD 的优化效果很大程度上取决于学习率和迭代次数。当精心挑选合适的学习率、足够大的迭代次数（根据验证集执行早停策略从而防止过拟合），SGD 可以达到 ALS 的效果。
   • ALS 不需要精心的、耗时的搜索合适的学习率，就可以达到很好的效果。

   该实验表明：SGD 需要仔细且耗时地搜索学习率，而ALS 不需要这样的搜索因为它没有这个超参数。在预测质量方面SGD 的性能与 ALS 一样好，但是前提是选择了正确的学习率。这使得 ALS 在应用中明显有利。

   

6. 运行时间：Multiverse Recommendation 在实际使用中的主要缺点之一是模型的计算复杂度为 $ O(d^K) $ ，这对于学习和预测都是一个问题。这意味着即使对于标准的非上下文感知推荐系统，运行时间对于分解维度 $ d $ 上也是二次的，对于上下文感知问题至少是三次的。这使得很难应用于较大的因子维度 $ d $ 和较多的变量数量 $ K $ 。相反，FM 的计算复杂度对于 $ d $ 和 $ K $ 都是线性的，即 $ O(dK) $ 。

   在本实验中，我们考察所有训练样本的一次完整迭代的运行时间。我们使用 webscope 数据集， $ K=4 $ ， $ d\in \{1,2,4,8,16,32,64,128\} $ 。对于 Multiverse Recommendation，我们选择的最大 $ d=32 $ 。实验结果如下图所示（单位为妙），其中左图为对数尺度。可以看到，实验结果和理论复杂度分析相匹配：

   • FM 的运行时间是线性的，例如可以在大约 11s 内完成所有训练样本的完整迭代（对于 $ d=128 $ ）。
   • Multiverse Recommendation 的复杂度随着 $ d^4 $ 的增加而增加，使得 $ d=16 $ 的运行时间已经是 30 分钟，而 $ d=32 $ 的运行时间大约是 8 小时。

   

7. 预测质量：最后我们想知道，上下文感知 FM 的灵活性和快速运行时间是否会以较差的预测质量为代价。为此我们比较了 Food、Adom、Webscope 数据集上的预测质量，如下图所示。可以看到：

   • 上下文感知 FM 和 Multiverse Recommendation 对 Food 和 Adom 数据集的预测质量相当。
   • 上下文感知 FM 和 Multiverse Recommendation 都优于上下文无感方法（相当于矩阵分解模型）。

   

   在第三个实验中，我们考察了人工特征丰富的 Webscope 数据集，其中上下文变量（由 context influence 刻画）对于评分的影响越来越大。结果如下图所示，可以看到：

   • 上下文感知的 FM 和 Multiverse Recommendation 都受益于对上下文有更强依赖性的评分。
   • 当评分更依赖于上下文时，上下文无关 FM 的预测质量会变差，因为对于上下文无关 FM，上下文是未观测到的，因此它们无法解释这种依赖性。
   • 将两种上下文感知方法相互比较，可以看到 FM 始终生成比 Multiverse Recommendation 更好的预测。例如，RMSE 下降 0.10 ~ 0.15 ，而 MAE 下降 0.08 ~ 0.10 。

   

8. 结论：实验结果表明：

   • 上下文感知 FM 能够考虑上下文信息来增强预测。

   • 在运行时间方面 FM 是线性的，这使得它们可以应用于大维度的因子、更多上下文变量。相比之下，Multiverse Recommendation 无法处理大维度的因子、也无法处理很多上下文变量。

   • FM 在运行时间方面的优势并没有以预测质量为代价，相反：

     • 在稠密数据集（Food 和 Adom）上，上下文感知 FM 和 Multiverse Recommendation 的预测质量相当。
     • 而在稀疏数据集上，上下文感知 FM 的性能优于 Multiverse Recommendation 。

   • 最后，ALS 优化的 FM 很容易应用，因为它不像 SGD 那样对学习率进行昂贵的搜索。