Question

方阵 A∈R^n×n的 行列式 是一个映射 det: R^n×n→R,记作|A|或 det A (同迹运算一样，我们通常省略括号)。在代数上，可以显式地写出 A 的行列式的公式，但是很遗憾，它的意义不够直观。咱们先给出行列式的几何解释，然后再探讨一下它的一些特殊的代数性质。

对于矩阵：

考虑由 A 中所有行向量 a1,a2,..,an 的所有可能线性组合组成的点集 S?Rⁿ，其中线性组合的参数都介于 0 和 1 之间；换句话说，由于这些线性组合的参数 a1,a2,...,an∈Rⁿ满足 0≦ai≦1,i=1,...,n，集合 S 是张成子空间({a1, . . , an}) 的约束。公式表达如下：

A 的行列式的绝对值，是集合 S 的"体积"的一个量度。

例如，考虑 2×2 矩阵，

此处，矩阵的行：

对应于这些行的集合 S 如图 1 所示。对于二维矩阵，S 一般是平行四边形。在我们的示例中 A 的行列式的值为|A| = -7.(可以使用本节后文将给出的公式来计算)。所以平行四边形的面积为 7（自行证明！）

在三维中，集合 S 对应一个平行六面体（一个三维的斜面的盒子，例如每一面都是平行四边形）。这个 3×3 矩阵的行列式的绝对值，就是这个平行六面体的三维体积。在更高的维数中，集合 S 是一个 n 维超平形体。

图 1 ：公式(1) 给出 2×2 矩阵 A 的行列式图示。此处，a1 和 a2 是对应于 A 中的行的向量，集合 S 对应于阴影区域（亦即平行四边形）。行列式的绝对值，|det A|=7，是平行四边形的面积

代数上，行列式满足下列三个性质（其它性质亦遵循它，包括行列式的一般公式）

1、单位矩阵的行列式为 1 ，|I| = 1。(从几何上来看，单位超立方体的体积为 1)。

2、对于一个矩阵 A∈R^n×n，如果将 A 中某行乘以一个标量 t∈R，新矩阵的行列式值为 t|A|。

(几何上，集合 S 的一条边乘以因数 t，会导致体积扩大 t 倍)

3、我们交换行列式 A 任意两行 a^T_i 和 a^T_j ，新矩阵的行列式的值为-|A|,例如：

?

满足上述三个条件的函数是否存在，并不是那么容易看出来的。然而事实上，此函数存在且唯一。(此处不证明)

这三个性质的推论包括：

• 对于 A ∈ R^n×n, |A| = |A^T |。
• 对于 A,B ∈ R^n×n, |AB| = |A||B|。
• 对于 A ∈ R^n×n,当且仅当 A 奇异（即不可逆) 时，|A| = 0。（如果 A 奇异，它必不满秩，它的列线性相关。此时，集合 S 对应于 n 维空间中的一个平板，因此体积为零。）
• 对于 A ∈ R^n×n，且 A 非奇异, |A^-1| = 1/|A|.

在给出行列式的一般定义之前，我们定义代数余子式：对于 A∈ R^n×n，矩阵 A_\i,\j ∈R^(n-1)×(n-1)是 A 删除 i 行和 j 列的结果。

行列式的一般（递推）定义：

其中首项 A∈ R^1×1的行列式，|A| = a₁₁。如果我们把公式推广到 A∈ R^n×n，会有 n！（n 的阶乘）个不同的项。因此，我们很难显式地写出 3 阶以上的矩阵的行列式的计算等式。

然而，3 阶以内的矩阵的行列式十分常用，大家最好把它们记住。

矩阵 A∈ R^n×n的 古典伴随矩阵 （通常简称为 伴随矩阵 ），记作 adj(A),定义为：

（注意 A 的系数的正负变化。）可以证明，对于任意非奇异矩阵 A∈ R^n×n，有

这个式子是求矩阵的逆的一个很好的显示公式。大家要记住，这是一个计算矩阵的逆的一个更加高效的方法。