Question

1 浮点数为什么不精确？ 其实这句话本身就不精确， 相对精确一点的说法是： 我们码农在程序里写的 10 进制小数，计算机内部无法用二进制的小数来精确的表达。

什么是二进制的小数？ 就是形如 101.11 数字，注意，这是二进制的，数字只能是 0 和 1。

101.11 就等于 1 * 2^2 +0 *2^1 + 1*2^0 + 1*2^-1 + 1*2^-2 = 4+0+1+1/2+1/4 = 5.75

下面的图展示了一个二进制小数的表达形式。 （注： 此图来自于《深入理解计算机系统》第 2 章）

从图中可以看到，对于二进制小数，小数点右边能表达的值是 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128 ... 1/(2^n）

现在问题来了， 计算机只能用这些个 1/(2^n） 之和来表达十进制的小数。

我们来试一试如何表达十进制的 0.2 吧。

0.01 = 1/4 = 0.25 ,太大

0.001 =1/8 = 0.125 , 又太小

0.0011 = 1/8 + 1/16 = 0.1875 , 逼近 0.2 了

0.00111 = 1/8 + 1/16 + 1/32 = 0.21875 , 又大了

0.001101 = 1/8+ 1/16 + 1/64 = 0.203125 还是大

0.0011001 = 1/8 + 1/16 + 1/128 = 0.1953125 这结果不错

0.00110011 = 1/8+1/16+1/128+1/256 = 0.19921875 已经很逼近了， 就这样吧。

这就是我说的用二进制小数没法精确表达 10 进制小数的含义。 2 浮点数的计算机表示

那计算机内部具体是怎么表示的呢？

计算机不可能提供无限的空间让程序去存储这些二进制小数。

它需要规定长度， 在 Java 中， 提供了两种方式： float 和 double ， 分别是 32 位 和 64 位 。

可以这样查看一下一个 float 的内部表示（以 0.09f 为例）： Float.floatToRawIntBits(0.09f)

你将会得到：1035489772， 这是 10 进制的， 转化成二进制， 在前面加几个 0 补足 32 位就是：

0 01111011 01110000101000111101100

你可以看到它分成了 3 段： 第一段代表了符号(s) : 0 正数， 1 负数 ， 其实更准确的表达是 (-1) ^0

第二段是阶码(e)：01111011 　，对应的 10 进制是　123

第三段是尾数(M)

你看到了尾数和阶码，就会明白这其实是所谓的科学计数法: (-1)^s * M * 2^e

对于 0.09f 的例子，就是： 0101110000101000111101100 * (2^123) 好像不对，这肯定远远大于 0.09f !

这是因为浮点数遵循的是 IEEE754 表示法， 我们刚才的 s(符号) 是对的，但是 e(阶码) 和 M（尾数）需要变换：

对于阶码 e ， 一共有 8 位， 这是个有符号数， 特别是按照 IEEE754 规范， 如果不是 0 或者 255， 那就需要减去一个叫偏置量的值，对于 float 是 127

所以 E = e - 127 = 123-127 = -4

对于尾数 M ，如果阶码不是 0 或者 255， 他其实隐藏了一个小数点左边的一个 1 （节省空间，充分压榨每一个 bit 啊）。 即 M = 1.01110000101000111101100

现在写出来就是: 1.01110000101000111101100 * 2^-4 =0.000101110000101000111101100 = 1/16 + 1/64 + 1/128+ 1/256 + .... = 0.0900000035762786865234375

你看这就是 0.09 的内部表示， 很明显他比 0.09 更大一些， 是不精确的！

64 位的双精度浮点数 double 是也是类似的， 只是尾数和阶码更长， 能表达的范围更大。 符号位 ：1 位 阶码 ： 11 位 尾数： 52 位 （注： 这个图也是来源于《深入理解计算机系统》第二章） 上面的例子 0.09f 其实是所谓的规格化的浮点数， 还有非规格化的浮点数，这里就不展开了。 3 使用浮点数 由于浮点数表示的这种“不精确性”或者说是“近似性”， 对于精确度要求不高的运算还行， 如果我们用 float 或者 double 来做哪些要求精确的运算（例如银行）时就要小心了，很可能得不到你想要的结果。

具体的改进方法推荐大家看看《Effective Java》在第 48 条所推荐的“使用 BigDecimal 来做精确运算”。