Question

让我们仔细看看，在时间等于3分钟时，发生了什么。

在3分钟时，速度为9英里每小时。我们知道，在3分钟后速度将变得更快。让我们将这与6分钟时发生的事情相比。在第6分钟，速度为36英里每小时。在6分钟后，速度会变得更快。

但是，我们也知道，在6分钟后的那一瞬间，速度增加的速率比3分钟后的那一瞬间大。这是发生在3分钟和6分钟处事情的真正区别。

让我们将这种对比可视化，如下图所示。

可以看到，在6分钟处的斜率比在3分钟处的斜率要大。斜率就是我们希望得到的变化率。这是一个重要的体会，让我们再说一遍。在曲线任何点处的变化率，就是曲线在该点的斜率。

但是，如何测量曲线的斜率呢？对于直线而言，测量斜率非常容易，对于曲线而言，可以画出称为切线的直线，切线要尽可能与曲线中某一点处的斜率相同，这样就可以根据切线的斜率估计出曲线在这一点的斜率。事实上，在其他测量方法出现之前，这就是人们测量曲线斜率的方式。

为了让读者体会一下这种做法，我们就试试这个粗略的方法。下图显示了速度曲线图，在6分钟时，我们得到了与速度曲线仅有一个交点的切线。

从中学数学中我们知道，要计算出斜率或梯度，需要将斜面的高度除以宽度。在上图中，高度（速度）为Δs，宽度（时间）为Δt。符号Δ称为“增量”，也就是一个微小的变化。因此Δt就是t的一个小变化。

斜率为Δs/Δt。对于斜面，可以选择任何尺寸的三角形，用尺子测量高度和宽度。根据我的测量结果，恰好得到了一个Δs为9.6、Δt为0.8的三角形。因此，所得的斜率如下：

我们得到了一个重要的结果！在6分时，速度变化率为每分钟12.0英里每小时。

你应该明白，靠着一把尺子，尽其所能，甚至尝试用手画切线，结果也不会特别准确。因此，让我们把事情变得稍微复杂一点。