Question

贪心算法（greedy algorithm）是一种常见的解决优化问题的算法，其基本思想是在问题的每个决策阶段，都选择当前看起来最优的选择，即贪心地做出局部最优的决策，以期获得全局最优解。贪心算法简洁且高效，在许多实际问题中有着广泛的应用。

贪心算法和动态规划都常用于解决优化问题。它们之间存在一些相似之处，比如都依赖最优子结构性质，但工作原理不同。

• 动态规划会根据之前阶段的所有决策来考虑当前决策，并使用过去子问题的解来构建当前子问题的解。
• 贪心算法不会考虑过去的决策，而是一路向前地进行贪心选择，不断缩小问题范围，直至问题被解决。

我们先通过例题“零钱兑换”了解贪心算法的工作原理。这道题已经在“完全背包问题”章节中介绍过，相信你对它并不陌生。

Question

给定 \(n\) 种硬币，第 \(i\) 种硬币的面值为 \(coins[i - 1]\) ，目标金额为 \(amt\) ，每种硬币可以重复选取，问能够凑出目标金额的最少硬币数量。如果无法凑出目标金额，则返回 \(-1\) 。

本题采取的贪心策略如图 15-1 所示。给定目标金额，我们贪心地选择不大于且最接近它的硬币，不断循环该步骤，直至凑出目标金额为止。

图 15-1   零钱兑换的贪心策略

实现代码如下所示：

coin_change_greedy.py

def coin_change_greedy(coins: list[int], amt: int) -> int:
    """零钱兑换：贪心"""
    # 假设 coins 列表有序
    i = len(coins) - 1
    count = 0
    # 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
    while amt > 0:
        # 找到小于且最接近剩余金额的硬币
        while i > 0 and coins[i] > amt:
            i -= 1
        # 选择 coins[i]
        amt -= coins[i]
        count += 1
    # 若未找到可行方案，则返回 -1
    return count if amt == 0 else -1

coin_change_greedy.cpp

/* 零钱兑换：贪心 */
int coinChangeGreedy(vector<int> &coins, int amt) {
    // 假设 coins 列表有序
    int i = coins.size() - 1;
    int count = 0;
    // 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
    while (amt > 0) {
        // 找到小于且最接近剩余金额的硬币
        while (i > 0 && coins[i] > amt) {
            i--;
        }
        // 选择 coins[i]
        amt -= coins[i];
        count++;
    }
    // 若未找到可行方案，则返回 -1
    return amt == 0 ? count : -1;
}

coin_change_greedy.java

/* 零钱兑换：贪心 */
int coinChangeGreedy(int[] coins, int amt) {
    // 假设 coins 列表有序
    int i = coins.length - 1;
    int count = 0;
    // 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
    while (amt > 0) {
        // 找到小于且最接近剩余金额的硬币
        while (i > 0 && coins[i] > amt) {
            i--;
        }
        // 选择 coins[i]
        amt -= coins[i];
        count++;
    }
    // 若未找到可行方案，则返回 -1
    return amt == 0 ? count : -1;
}

coin_change_greedy.cs

/* 零钱兑换：贪心 */
int CoinChangeGreedy(int[] coins, int amt) {
    // 假设 coins 列表有序
    int i = coins.Length - 1;
    int count = 0;
    // 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
    while (amt > 0) {
        // 找到小于且最接近剩余金额的硬币
        while (i > 0 && coins[i] > amt) {
            i--;
        }
        // 选择 coins[i]
        amt -= coins[i];
        count++;
    }
    // 若未找到可行方案，则返回 -1
    return amt == 0 ? count : -1;
}

coin_change_greedy.go

/* 零钱兑换：贪心 */
func coinChangeGreedy(coins []int, amt int) int {
    // 假设 coins 列表有序
    i := len(coins) - 1
    count := 0
    // 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
    for amt > 0 {
        // 找到小于且最接近剩余金额的硬币
        for i > 0 && coins[i] > amt {
            i--
        }
        // 选择 coins[i]
        amt -= coins[i]
        count++
    }
    // 若未找到可行方案，则返回 -1
    if amt != 0 {
        return -1
    }
    return count
}

coin_change_greedy.swift

/* 零钱兑换：贪心 */
func coinChangeGreedy(coins: [Int], amt: Int) -> Int {
    // 假设 coins 列表有序
    var i = coins.count - 1
    var count = 0
    var amt = amt
    // 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
    while amt > 0 {
        // 找到小于且最接近剩余金额的硬币
        while i > 0 && coins[i] > amt {
            i -= 1
        }
        // 选择 coins[i]
        amt -= coins[i]
        count += 1
    }
    // 若未找到可行方案，则返回 -1
    return amt == 0 ? count : -1
}

coin_change_greedy.js

/* 零钱兑换：贪心 */
function coinChangeGreedy(coins, amt) {
    // 假设 coins 数组有序
    let i = coins.length - 1;
    let count = 0;
    // 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
    while (amt > 0) {
        // 找到小于且最接近剩余金额的硬币
        while (i > 0 && coins[i] > amt) {
            i--;
        }
        // 选择 coins[i]
        amt -= coins[i];
        count++;
    }
    // 若未找到可行方案，则返回 -1
    return amt === 0 ? count : -1;
}

coin_change_greedy.ts

/* 零钱兑换：贪心 */
function coinChangeGreedy(coins: number[], amt: number): number {
    // 假设 coins 数组有序
    let i = coins.length - 1;
    let count = 0;
    // 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
    while (amt > 0) {
        // 找到小于且最接近剩余金额的硬币
        while (i > 0 && coins[i] > amt) {
            i--;
        }
        // 选择 coins[i]
        amt -= coins[i];
        count++;
    }
    // 若未找到可行方案，则返回 -1
    return amt === 0 ? count : -1;
}

coin_change_greedy.dart

/* 零钱兑换：贪心 */
int coinChangeGreedy(List<int> coins, int amt) {
  // 假设 coins 列表有序
  int i = coins.length - 1;
  int count = 0;
  // 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
  while (amt > 0) {
    // 找到小于且最接近剩余金额的硬币
    while (i > 0 && coins[i] > amt) {
      i--;
    }
    // 选择 coins[i]
    amt -= coins[i];
    count++;
  }
  // 若未找到可行方案，则返回 -1
  return amt == 0 ? count : -1;
}

coin_change_greedy.rs

/* 零钱兑换：贪心 */
fn coin_change_greedy(coins: &[i32], mut amt: i32) -> i32 {
    // 假设 coins 列表有序
    let mut i = coins.len() - 1;
    let mut count = 0;
    // 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
    while amt > 0 {
        // 找到小于且最接近剩余金额的硬币
        while i > 0 && coins[i] > amt {
            i -= 1;
        }
        // 选择 coins[i]
        amt -= coins[i];
        count += 1;
    }
    // 若未找到可行方案，则返回 -1
    if amt == 0 {
        count
    } else {
        -1
    }
}

coin_change_greedy.c

/* 零钱兑换：贪心 */
int coinChangeGreedy(int *coins, int size, int amt) {
    // 假设 coins 列表有序
    int i = size - 1;
    int count = 0;
    // 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
    while (amt > 0) {
        // 找到小于且最接近剩余金额的硬币
        while (i > 0 && coins[i] > amt) {
            i--;
        }
        // 选择 coins[i]
        amt -= coins[i];
        count++;
    }
    // 若未找到可行方案，则返回 -1
    return amt == 0 ? count : -1;
}

coin_change_greedy.kt

/* 零钱兑换：贪心 */
fun coinChangeGreedy(coins: IntArray, amt: Int): Int {
    // 假设 coins 列表有序
    var am = amt
    var i = coins.size - 1
    var count = 0
    // 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
    while (am > 0) {
        // 找到小于且最接近剩余金额的硬币
        while (i > 0 && coins[i] > am) {
            i--
        }
        // 选择 coins[i]
        am -= coins[i]
        count++
    }
    // 若未找到可行方案，则返回 -1
    return if (am == 0) count else -1
}

coin_change_greedy.rb

### 零钱兑换：贪心 ###
def coin_change_greedy(coins, amt)
  # 假设 coins 列表有序
  i = coins.length - 1
  count = 0
  # 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
  while amt > 0
    # 找到小于且最接近剩余金额的硬币
    while i > 0 && coins[i] > amt
      i -= 1
    end
    # 选择 coins[i]
    amt -= coins[i]
    count += 1
  end
  # 若未找到可行方案， 则返回 -1
  amt == 0 ? count : -1
end

coin_change_greedy.zig

[class]{}-[func]{coinChangeGreedy}

你可能会不由地发出感叹：So clean ！贪心算法仅用约十行代码就解决了零钱兑换问题。

15.1.1   贪心算法的优点与局限性

贪心算法不仅操作直接、实现简单，而且通常效率也很高。在以上代码中，记硬币最小面值为 \(\min(coins)\) ，则贪心选择最多循环 \(amt / \min(coins)\) 次，时间复杂度为 \(O(amt / \min(coins))\) 。这比动态规划解法的时间复杂度 \(O(n \times amt)\) 小了一个数量级。

然而，对于某些硬币面值组合，贪心算法并不能找到最优解。图 15-2 给出了两个示例。

• 正例 \(coins = [1, 5, 10, 20, 50, 100]\)：在该硬币组合下，给定任意 \(amt\) ，贪心算法都可以找到最优解。
• 反例 \(coins = [1, 20, 50]\)：假设 \(amt = 60\) ，贪心算法只能找到 \(50 + 1 \times 10\) 的兑换组合，共计 \(11\) 枚硬币，但动态规划可以找到最优解 \(20 + 20 + 20\) ，仅需 \(3\) 枚硬币。
• 反例 \(coins = [1, 49, 50]\)：假设 \(amt = 98\) ，贪心算法只能找到 \(50 + 1 \times 48\) 的兑换组合，共计 \(49\) 枚硬币，但动态规划可以找到最优解 \(49 + 49\) ，仅需 \(2\) 枚硬币。

图 15-2   贪心算法无法找出最优解的示例

也就是说，对于零钱兑换问题，贪心算法无法保证找到全局最优解，并且有可能找到非常差的解。它更适合用动态规划解决。

一般情况下，贪心算法的适用情况分以下两种。

1. 可以保证找到最优解：贪心算法在这种情况下往往是最优选择，因为它往往比回溯、动态规划更高效。
2. 可以找到近似最优解：贪心算法在这种情况下也是可用的。对于很多复杂问题来说，寻找全局最优解非常困难，能以较高效率找到次优解也是非常不错的。

15.1.2   贪心算法特性

那么问题来了，什么样的问题适合用贪心算法求解呢？或者说，贪心算法在什么情况下可以保证找到最优解？

相较于动态规划，贪心算法的使用条件更加苛刻，其主要关注问题的两个性质。

• 贪心选择性质：只有当局部最优选择始终可以导致全局最优解时，贪心算法才能保证得到最优解。
• 最优子结构：原问题的最优解包含子问题的最优解。

最优子结构已经在“动态规划”章节中介绍过，这里不再赘述。值得注意的是，一些问题的最优子结构并不明显，但仍然可使用贪心算法解决。

我们主要探究贪心选择性质的判断方法。虽然它的描述看上去比较简单，但实际上对于许多问题，证明贪心选择性质并非易事。

例如零钱兑换问题，我们虽然能够容易地举出反例，对贪心选择性质进行证伪，但证实的难度较大。如果问：满足什么条件的硬币组合可以使用贪心算法求解？我们往往只能凭借直觉或举例子来给出一个模棱两可的答案，而难以给出严谨的数学证明。

Quote

有一篇论文给出了一个 \(O(n^3)\) 时间复杂度的算法，用于判断一个硬币组合能否使用贪心算法找出任意金额的最优解。

Pearson, D. A polynomial-time algorithm for the change-making problem[J]. Operations Research Letters, 2005, 33(3): 231-234.

15.1.3   贪心算法解题步骤

贪心问题的解决流程大体可分为以下三步。

1. 问题分析：梳理与理解问题特性，包括状态定义、优化目标和约束条件等。这一步在回溯和动态规划中都有涉及。
2. 确定贪心策略：确定如何在每一步中做出贪心选择。这个策略能够在每一步减小问题的规模，并最终解决整个问题。
3. 正确性证明：通常需要证明问题具有贪心选择性质和最优子结构。这个步骤可能需要用到数学证明，例如归纳法或反证法等。

确定贪心策略是求解问题的核心步骤，但实施起来可能并不容易，主要有以下原因。

• 不同问题的贪心策略的差异较大。对于许多问题来说，贪心策略比较浅显，我们通过一些大概的思考与尝试就能得出。而对于一些复杂问题，贪心策略可能非常隐蔽，这种情况就非常考验个人的解题经验与算法能力了。
• 某些贪心策略具有较强的迷惑性。当我们满怀信心设计好贪心策略，写出解题代码并提交运行，很可能发现部分测试样例无法通过。这是因为设计的贪心策略只是“部分正确”的，上文介绍的零钱兑换就是一个典型案例。

为了保证正确性，我们应该对贪心策略进行严谨的数学证明，通常需要用到反证法或数学归纳法。

然而，正确性证明也很可能不是一件易事。如若没有头绪，我们通常会选择面向测试用例进行代码调试，一步步修改与验证贪心策略。

15.1.4   贪心算法典型例题

贪心算法常常应用在满足贪心选择性质和最优子结构的优化问题中，以下列举了一些典型的贪心算法问题。

• 硬币找零问题：在某些硬币组合下，贪心算法总是可以得到最优解。
• 区间调度问题：假设你有一些任务，每个任务在一段时间内进行，你的目标是完成尽可能多的任务。如果每次都选择结束时间最早的任务，那么贪心算法就可以得到最优解。
• 分数背包问题：给定一组物品和一个载重量，你的目标是选择一组物品，使得总重量不超过载重量，且总价值最大。如果每次都选择性价比最高（价值 / 重量）的物品，那么贪心算法在一些情况下可以得到最优解。
• 股票买卖问题：给定一组股票的历史价格，你可以进行多次买卖，但如果你已经持有股票，那么在卖出之前不能再买，目标是获取最大利润。
• 霍夫曼编码：霍夫曼编码是一种用于无损数据压缩的贪心算法。通过构建霍夫曼树，每次选择出现频率最低的两个节点合并，最后得到的霍夫曼树的带权路径长度（编码长度）最小。
• Dijkstra 算法：它是一种解决给定源顶点到其余各顶点的最短路径问题的贪心算法。