Question

对于一个矩阵 A ∈ R ^{m × n} 和向量 x ∈ R ⁿ ，他们的乘积为向量 y = Ax ∈ R ^m 。理解矩阵向量乘法的方式有很多种，我们一起来逐一看看。

以行的形式书写 A，我们可以将其表示为 Ax 的形式：

.

也就是说， y 第 i 行的元素等于 A 的第 i 行与 x 的内积 .

咱们换个角度，以列的形式表示 A，我们可以看到：

.

换言之， y 是 A 列的线性组合，线性组合的系数就是 x 的元素。

上面我们看到的是右乘一个列向量，那左乘一个行向量嘞？对于 A ∈ R^m×n，x ∈ R^m， y ∈ Rⁿ ，这个式子可以 写成 y^T = x^T A 。 向之前那样，我们有两种方式表达 y^T ，这取决于表达 A 的方式是行还是列。第一种情况是把 A 以列的形式表示：

这个式子说明 y^T 第 i 列的元素等于向量 x 与 A 的第 i 列的内积。

我们也一样可以把 A 表示成行的形式，来说明向量-矩阵乘积。

我们可以看到 y^T 是 A 的行的线性组合，线性组合的系数是 x 的元素。