正交试验设计

Question

正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。它是由试验因素的 全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分 析瞭解全面试验的情况，找出最优的水平组合。可以通过代表性很强的少数次试验，摸清 各个因素对试验指标的影响情况，确定出因素的主次顺序，找出较好的生产条件或最佳参 数组合。

0.1 正交表的性质

0.1.1 正交性

1. 均匀分散性：任一列中，不同数字出现的次数相等；
2. 整齐可比性：任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相等；
3. 可置换性：
   1. 正交表各列的地位是平等的，表中各列之间可以相互置换，称爲列间置换；
   2. 正交表各行之间也可相互置换，称列间置换；
   3. 正交表中同一列的水平数字也可以相互置换，称水平置换。

0.1.2 分散均匀性

1. 任一列的各水平都出现，使得部分试验中包含所有因素的所有水平；
2. 任意两列间的所有组合全部出现，使任意两因素间都是全面试验。

0.1.3 综合可比性

1. 任一列各水平出现的次数都相等；
2. 任两列间所有可能的组合出现的次数都相等，因此使任一因素各水平的试验条件相同。

0.2 拉丁方阵

拉丁方阵（Latin square）是一种 $n\times n$ 的方阵，在这种 $n\times n$ 的方阵里， 恰有 $n$ 种不同的元素，每一种不同的元素在同一行或同一列里只出现一次。如下面的三阶 拉丁方。

\begin{bmatrix}
    1 & 2 & 3\\
    2 & 3 & 1\\
    3 & 1 & 2\\
\end{bmatrix}

0.2.1 标准型

当一个拉丁方阵的第一行与第一列的元素按顺序排列时，此爲这个拉丁方阵的标准型，英语 称爲"reduced Latin square, normalized Latin square, or Latin square in standard form"。

0.2.2 构造拉丁方

同阶的拉丁方有多个，构造其中的一个有一种通用的方法。

若 $n$ 爲偶数，则构造第一行爲 $1, 2, n, 3, n-1, 4, n-2, \dots$，之后的每一行都在 上一行对应列元素上加一併对 $n$ 取模，即可表示爲如下矩阵。

  \begin{bmatrix} 1 &
  2 & n & 3 & n-1 & 4 & n-2 & \cdots\\ 2 & 3 & n+1 & 4 & n & 5 & n-1 &
  \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &
  \vdots\\ i & i+1 & i+n-1 & i+2 & i+n-2 & i+3 & i+n-3 & \cdots\\ \vdots & \vdots
  & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ n & 1 & n-1 & 2 & n-2 &
  3 & n-3 & \cdots\\ \end{bmatrix} \mathrm{mod}\ n

若 $n$ 爲奇数，则先按偶数法则构造一个拉丁方，然后将上述模式左右对调。

0.2.3 正交拉丁方

设有两个阶数相同且爲 $n$ 的拉丁方阵 $A_1=(a^{(1)}i,j)n\times n, A_2=(a^{(2)}i,j)n\times n$，其中将所有放置位置相同的元素组合成一个元组，组 合成一个新的矩阵$((a^{(1)}i,j, a^{(2)}i,j))n\times n$。当这个新的矩阵 $((a^{(1)}i,j, a^{(2)}i,j))n\times n$中每一个元素互不相同时，拉丁方阵 $A_1$ 和 $A_2$ 是互相正交的。此时，$A_1$ 和 $A_2$ 即爲一对正交拉丁方。而在阶数固 定的情况下，所有两两正交的拉丁方所成的集合称爲正交拉丁方族。如下面的两个 3 阶拉丁 方。

\begin{matrix}
A = \begin{bmatrix}
    1 & 2 & 3\\
    2 & 3 & 1\\
    3 & 1 & 2\\
\end{bmatrix} &
B = \begin{bmatrix}
    1 & 2 & 3\\
    3 & 1 & 2\\
    2 & 3 & 1\\
\end{bmatrix}
\end{matrix}

0.2.4 素数阶拉丁方

若 $n$ 阶拉丁方存在 $r$ 个两两正交的拉丁方，那麽 $r\leq n-1$。素数阶拉丁方（以 $3, 5, 7, \dots$ 爲阶）是完全的，即 $n$阶正交拉丁方族中有 $n-1$ 个拉丁方。

0.3 构造正交表

因爲素数阶拉丁方都可构造完全的正交拉丁方族，则可继续构造正交表。若把素数 $n$ 作爲 水平数，则以 $n$ 阶拉丁方构造的正交拉丁方有 $n-1$ 个。以 $n-1$作爲因素数构造正交 表。

以 3 阶拉丁方爲例，3 阶正交拉丁方族包含 2 个正交拉丁方，并将对应位置元素合併成二 元有序数对。

\begin{matrix}
\begin{bmatrix}
    1 & 2 & 3\\
    2 & 3 & 1\\
    3 & 1 & 2\\
\end{bmatrix} &
\begin{bmatrix}
    1 & 2 & 3\\
    3 & 1 & 2\\
    2 & 3 & 1\\
\end{bmatrix} & = &
\begin{bmatrix}
    11 & 22 & 33\\
    23 & 31 & 12\\
    32 & 13 & 21\\
\end{bmatrix} &
\end{matrix}

以第一个元素作爲因素 A，第二个元素作爲因素 B，然后与因素 C、D 均匀搭配，构造 4 因素 3 水平正交表。

C, A, B, D	1	2	3
1	11	22	33
2	23	31	12
3	32	13	21

展开后爲

试验号	A	B	C	D
1	1	1	1	1
2	1	2	2	2
3	1	3	3	3
4	2	2	3	1
5	2	3	1	2
6	2	1	2	3
7	3	3	2	1
8	3	1	3	2
9	3	2	1	3

若只与一个因素 C 搭配，则可构造 3 因素 3 水平正交表。

C, A, B
1	11	22	33
2	23	31	12
3	32	13	21

展开后爲

试验号	A	B	C
1	1	1	1
2	1	2	2
3	1	3	3
4	2	2	3
5	2	3	1
6	2	1	2
7	3	3	2
8	3	1	3
9	3	2	1

由此可见，以素数 $n$ 爲水平数设计正交试验，可满足 $[n-1, n+1]$个因素的设计，并且 总共需要 $n^2$ 次试验。即对于 3 因素 3 水平与 4 因素 3 水平正交试验具有相同的试验 组数，同爲 9 组。可类似地构造出$L_9(3^3)$，$L_9(3^4)$，$L25(5^5)$， $L25(5^6)$，$L49(7^7)$，$L49(7^8)$等。

0.4 参考资料

• 百度百科-拉丁方
• 百度百科-正交拉丁方
• 百度百科-拉丁方设计
• 正交表与正交设计