JavaScript 数字知多少？

Question

某天早上阳光明媚，挺风和日丽的，刚嚼一口早餐就被同学问到一个奇怪的问题，大概情况是这样的：

var str = '7172328d6ddf0296e7e7d4a8';
var n = parseInt(str, 16);

// false ...
console.log(n.toString(16) === str);

一个巨大的16进值字符串转化成数字后再转化成对应的字符串就不相等了，实际输出的值还差得蛮远的… 这个问题的第一反应就是精度丢失啰，不过同学们可不是这么好打发的，都不说一个为什么怎能了事呢？那就让我们稍微挖一挖，看看究竟是为什么吧～

根据规范 JavaScript 中的数字都是以64位双精度浮点类型存储，遵循IEEE 754标准。

双精度浮点是个什么货？简单的说就是用科学记数法的形式来表示数字，比如数 N 可以表示为 x * 10 ^ y ，相应的，13000 就可以表示为 1.3 * 10 ^ 4，通过这种方式可以使用有限的存储空间表示很广的值域，比如限定 x 与 y 是两位数，那么这四位数字可以表示的数值范围是 0 ~ 9.9 * 10 ^ 99（99后面98个零 够大吧…）。但同时有限的存储空间必定会导致精度缺失，比如 123 这个数虽然在能被表示的数值范围内，但是却不能被精确的表示，只能近似的表示为 1.2 * 10 ^ 2。这其实就是之前那个问题的答案：在将字符串转化成数字时，由于64位存储空间的限制，只能近似表示为另外一个相近的数，造成了精度的丢失。

进一步看，采用科学记数法的64位双精度浮点类型的内存布局情况如下：

从高位到低位依次是 符号位（1位），指数位（11位），尾数位（52位）

符号位顾名思义是表示正负号的，指数位控制小数点的位置，而尾数就是具体的数值，不过它只表示小数部分，实际并不存储整数部分，而是默认整数部分为1。原因嘛，二进制下，整数部分不是1就是0，而对于0的情况可以使用指数部分为负值来控制，所以默认整数部分为1即能保证精度又能减少需要的存储空间。

另外这里的指数并非实际的指数，而是一种编码指数：编码指数 ＝ 实际指数 ＋ 固定值。根据规范，这个固定值是由编码指数的位数 e 来确定的：2 ^ (e - 1) - 1，具体到11位的编码指数的话这个固定值是 2 ^ (11 - 1) - 1 = 1023。由于11位的编码指数的取值范围是 0 ~ 2047（2 ^ 11 - 1）,因此实际指数的取值范围是 -1023 ~ 1024 。注意：根据标准，这里的编码指数取值是开区间 (0, 2047)。

令 s = 符号位，e = 编码指数，m = 尾数，则64位双精度浮点格式二进制数的计算公式为：

N = ((-1) ^ s) * (1 + m * 2 ^ (-52)) * 2 ^ (e - 1023)

其中数值部分那个独立的 1 就是那个默认的整数部分，m * 2 ^ (-52) 是尾数表示的那个小数。

关于最大的准确整数

之前提过由于存储空间有限，会有精度的问题。那么64位的浮点能存储的最大精确的整数是多少呢？

指数部分可取的最大值是 1023，即可以将小数点后移1023位，尾数只有52位，所以当编码指数为 1075 （1023 ＋ 52）时正好没有小数部分，整部部分一共53位（52位尾数 ＋ 1位的默认值），所以 2 ^ 53 - 1 ＝ 9007199254740991 就是最大能精确表示的正整数。

怎么来证明呢？其实 Number 有一个常量叫  Number.MAX_SAFE_INTEGER …

通过 重新编译 v8，使其支持调试，我们能查看到运行时的 JavaScript 内存布局：

红色划线部分为实际存储的值：0x433fffffffffffff（x86 及其兼容的体系都是使用小端法表示字节序滴，所以需要反转一下），换成二进制是这样滴：

最高位符号位为0，其次11位的编码指数为：100 0011 0011，也就是 1075，而剩下的尾数位全为1～

大于最大的准确整数会怎样？

当然是精度丢失啰，当 Number.MAX_SAFE_INTEGER + 1 时尾数部分全变成0，编码指数位加1，实际指数为53，相当于有54个整数位（别忘了那个默认的1），这已经超出了整个尾部的长度（52位），低位已经不受控制了（相当于开始在尾部数后面加零了…)，所以实际上 Number.MAX_SAFE_INTEGER + 1 == Number.MAX_SAFE_INTEGER + 2。

最大能表示的值

就是除了符号位外，所有都为1啰（当然编码指数部分的最大取值只能是2046）：

根据之前的公式：

((-1) ^ s) * (1 + m * 2 ^ (-52)) * 2 ^ (e - 1023)
 = (-1) ^ 0 * (1 + (2 ^ 52 - 1) * 2 ^ (-52)) * 2 ^ (2046 - 1023)
 = (1 + (Math.pow(2, 52) - 1) * Math.pow(2, -52)) * Math.pow(2, 2046 - 1023)
 = 1.7976931348623157e+308

同样滴，也有一个叫 Number.MAX_VALUE 的东东：

实际内存布局：

相应的二进制表示：

关于零

由于默认有一个为1的整数位，那双精度浮点数怎么表示零呢？之前有提到编码指数取值是(0, 2047)的开区间，实际这种情况被称之为“规格化值”，而编码指数为0时被特殊称之为“非规范化值”。对于非规范化值规范特殊规定不再默认有一个为1的整数位，而且实际指数调整为：实际指数 = 1 - 固定值。所以只要此时尾数也为0就能真正的表示数零了～（当然还有符号，实际上在某些时候正负零是有区别的…）。

另外由于非规范化值的实际指数是一个常量：实际指数 = 1 - 1023 = -1022，所以除了表示零，非规范化值还能表示非常接近于零的数。至于为啥实际指数被指定为 1 - 固定值，是为了让非规格化值与规格化值之间能平滑过渡，这么规定以后最大的非规范化值与最小的规范化值（此处都是指正数范围）的实际指数都为-1022，而两者的数值部分正好相差1（一边儿是52个的1，另一边儿是52个的0加一个默认的1）～

最后，编码指数还有一种特殊的取值是全为1，规范规定此时如果尾数全为0则表示无穷（同样，算上符号位有正负无穷之分），而对于尾数不为0的值则称之为“NaN”。至此，无穷＋规范化值＋非规范化值 就能表示一个完整的数值域了～

参考

• 《深入理解计算机系统》
• http://zh.wikipedia.org/wiki/IEEE_754
• http://segmentfault.com/a/1190000000407658