算法：二分查找的总结

Question

普通的二分查找

最普通的写法:

• 范围在 [L,R] 闭区间中， L = 0 、 R = arr.length - 1 ；
• 注意循环条件为 L <= R ，而不是 L < R ；

    static int bs1(int[] arr,int key){
        int L = 0,R = arr.length - 1; //在[L,R]范围内寻找 key
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] == key)
                return mid;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid - 1;// key 在 [L,mid-1]内
            else
                L = mid + 1;
        }
        return -1;
    }

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普通二分查找的另一种写法

首先说明，这个和上面的二分查找是完全一样的，只不过我们定义的区间不同而已:

• 上面的二分查找是在 [L,R] 的闭区间中查找，而这个二分查找是在 [L,R )的左闭右开区间查找；

• 所以此时的循环条件是 L < R ，因为 R 本来是一个不可到达的地方，我们定义为了开区间，所以 R 是一个不会考虑的数，所以我们循环条件是 L < R ；

• 同理，当 arr[mid] > key 的时候，不是 R = mid - 1 ，因为我们定义的是开区间，所以 R = mid ，因为不会考虑 arr[mid] 这个数；

    //和上面的完全一样，只是一开始 R 不是 arr.length-1 而是 arr.length
    static int bs2(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length; //注意这里 R = arr.length 所以在[L,R) 开区间中找
        int mid;
        while( L < R){ //注意这里 不是 L <= R
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] == key)
                return mid;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid; // 在[L,mid) 中找
            else
                L = mid + 1;
        }
        return -1;
    }

上面的两种方式一般还是第一种方式用的多一点。

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第一个 =key 的，不存在返回 -1

这个和之前的不同是:

• 数组中可能有重复的 key ，我们要找的是第一个 key 的位置；

• 和普通二分查找法不同的是在我们要 R = mid - 1 前的判断条件不是 arr[mid] > key ，而是 arr[mid] >= key ；

• 为什么是上面那样，其实直观上理解，我们要找的是第一个，那我们去左边找的时候不仅仅 arr[mid] > key 就去左边找，等于我也要去找，因为我要最左边的等于的；

• 最后我们要判断 L 是否越界( L 有可能等于 arr.length )，而且最后 arr[L] 是否等于要找的 key ；

• 如果 arr[L] 不等于 key ，说明没有这个元素，返回 -1 ；

举个例子:

	/**查找第一个与 key 相等的元素的下标，　如果不存在返回-1　*/
    static int firstEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1; //在[L,R]查找第一个>=key 的
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] >= key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        if(L < arr.length && arr[L] == key)
            return L;
        return -1;
    }

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第一个 >=key 的

这个和上面那个寻找第一个等于 key 的唯一的区别就是:

• 最后我们不需要判断( L < arr.length && arr[L] == key )，因为如果不存在 key 的话，我们返回第一个 > key 的元素即可；

• 注意这里没有判断越界( L < arr.length )，因为如果整个数组都比 key 要小，就会返回 arr.length 的大小；

	/**查找第一个大于等于 key 的元素的下标*/
    static int firstLargeEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] >= key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        return L;
    }

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第一个 >key 的

这个和上两个的不同在于:

• if(arr[mid] >= key) 改成了 if(arr[mid] > key)，因为我们不是要寻找 = key 的；

• 看似和普通二分法很像，但是我们在循环中没有判断 if(arr[mid] == key) 就返回 mid (因为要寻找的不是等于 key 的)，而是在最后返回了 L ；

举个例子:

    /**查找第一个大于 key 的元素的下标 */
    static int firstLarge(int[] arr,int key){
        int L = 0,R = arr.length - 1;
        int mid;
        while(L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        return L;
    }

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第一个 ... 的总结

上面写了三个第一个 ..... 的程序，可以发现一些共同点 ，也可以总结一下它们微妙的区别:

• 最后返回的都是 L ；

• 如果是寻找第一个等于 key 的，是 if( arr[mid] >= key) R = mid - 1 ，且最后要判断 L 的合法以及是否存在 key ；

• 如果是寻找第一个大于等于 key 的，也是 if(arr[mid] >= key) R = mid - 1 ，但是最后直接返回 L ；

• 如果是寻找第一个大于 key 的，则判断条件是 if(arr[mid] > key) R = mid - 1 ，最后返回 L ；

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最后一个 = key 的，不存在返回 -1

和寻找第一个 = key 的很类似，不过是方向的不同而已:

• 数组中有可能有重复的 key ，我们要查找的是最后一个 = key 的位置，不存在返回 -1 ；

• 为了更加的直观的理解，和寻找第一个...的形成对比，这里是当 arr[mid] <= key 的时候，我们要去右边查找( L = mid + 1 )，同样是直观的理解，因为我们是要去找到最后一个 = key 的，所以不仅仅是 arr[mid] < key 要去左边寻找，等于 key 的时候也要去左边寻找；

• 和第一个....不同的是，我们返回的都是 R ；

• 同时我们也要判断 R 的下标的合法性，以及最后的 arr[R] 是否等于 key ，如果不等于就返回 -1 ；

举个例子:

    /**查找最后一个与 key 相等的元素的下标，　如果没有返回-1*/
    static int lastEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] <= key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        if(R >= 0 && arr[R] == key)
            return R;
        return -1;
    }

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最后一个 <=key 的

这个和上面那个寻找最后一个等于 key 的唯一的区别就是:

• 最后我们不需要判断 ( R >= 0 && arr[R] == key )，因为如果不存在 key 的话，我们返回最后一个 < key 的元素即可；

• 注意这里没有判断越界( R >= 0 )，因为如果整个数组都比 key 要大，数组最左边的更左边一个（也就是 -1 )；

    /**查找最后一个小于等于 key 的元素的下标 */
    static int lastSmallEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] <= key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        return R;
    }

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最后一个 <key 的

这个和上面两个不同的是:

• 和上面的程序唯一不同的就是 arr[mid] <= key 改成了 arr[mid] < key ，因为我们要寻找的不是 = key 的；

• 注意这三个最后一个的都是先对 L 的操作 L = mid + 1 ，然后在 else 中进行对 R 的操作；

    /**查找最后一个小于 key 的元素的下标*/
    static int lastSmall(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while(L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] < key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        return R;
    }

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最后一个 ... 的总结

上面三个都是求最后一个 ..... 的，也进行一下总结:

• 最后返回的都是 R ；

• 第一个 if 判断条件（不管是 arr[mid] <= key 还是 arr[mid] < key ) ，都是 L 的操作，也就是去右边寻找；

• 如果是寻找最后一个 等于 key 的， if(arr[mid] <= key) L = mid + 1; 不过最后要判断 R 的合法性以及是否存在 key ；

• 如果是寻找最后一个 小于等于 key 的，也是 if(arr[mid] <= key) L = mid + 1 ；不过最后直接返回 R ；

• 如果是寻找最后一个 小于 key 的，则判断条件是 if(arr[mid] < key) L = mid + 1 ，最后返回 R ；

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完整测试代码

public class BinarySearch {

    //最普通的二分搜索法
     static int bs1(int[] arr,int key){
        int L = 0,R = arr.length - 1; //在[L,R]范围内寻找 key
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] == key)
                return mid;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid - 1;// key 在 [L,mid-1]内
            else
                L = mid + 1;
        }
        return -1;
    }

    //和上面的完全一样，只是一开始 R 不是 arr.length-1 而是 arr.length
     static int bs2(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length; //注意这里 R = arr.length 所以在[L,R) 开区间中找
        int mid;
        while( L < R){ //注意这里 不是 L <= R
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] == key)
                return mid;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid; // 在[L,mid) 中找
            else
                L = mid + 1;
        }
        return -1;
    }


    /**查找第一个与 key 相等的元素的下标，　如果不存在返回-1　*/
     static int firstEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1; //在[L,R]查找第一个>=key 的
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] >= key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        if(L < arr.length && arr[L] == key)
            return L;
        return -1;
    }

    /**查找第一个大于等于 key 的元素的下标*/
    static int firstLargeEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] >= key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        return L;
    }


    /**查找第一个大于 key 的元素的下标 */
    static int firstLarge(int[] arr,int key){
        int L = 0,R = arr.length - 1;
        int mid;
        while(L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        return L;
    }


    /**查找最后一个与 key 相等的元素的下标，　如果没有返回-1*/
     static int lastEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] <= key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        if(R >= 0 && arr[R] == key)
            return R;
        return -1;
    }

    /**查找最后一个小于等于 key 的元素的下标 */
    static int lastSmallEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] <= key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        return R;
    }


    /**查找最后一个小于 key 的元素的下标*/
    static int lastSmall(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while(L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] < key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        return R;
    }


    public static void main(String[] args) {

        int[] arr = {1,3,4,6,6,6,6,6,6,8,9};

        System.out.println("----------general-----------");

        System.out.println(bs1(arr,3));//1
        System.out.println(bs2(arr,3));//1
        System.out.println(bs2(arr,6));//5


        System.out.println("-----------first------------");

        //第一个 =  的
        System.out.println(firstEqual(arr,6));//3

        //第一个　>= 的
        System.out.println(firstLargeEqual(arr,5));//3
        System.out.println(firstLargeEqual(arr,6));//3

        //第一个 > 的
        System.out.println(firstLarge(arr,6));//9

        System.out.println("------------last------------");

        //最后一个 =  的
        System.out.println(lastEqual(arr,6));//8

        // 最后一个 <= 的
        System.out.println(lastSmallEqual(arr,7));//8
        System.out.println(lastSmallEqual(arr,6));//8

        //最后一个 < 的
        System.out.println(lastSmall(arr,6));//2

    }
}

效果: