LeetCode 335. 路径交叉

Question

给定一个含有 n 个正数的数组 x。从点 (0,0) 开始，先向北移动 x[0] 米，然后向西移动 x[1] 米，向南移动 x[2] 米，向东移动 x[3] 米，持续移动。也就是说，每次移动后你的方位会发生逆时针变化。

编写一个 O(1) 空间复杂度的一趟扫描算法，判断你所经过的路径是否相交。

示例 1:

┌───┐
│   │
└───┼──>
    │

输入: [2,1,1,2]
输出: true
示例 2:

┌──────┐
│      │
│
│
└────────────>

输入: [1,2,3,4]
输出: false
示例 3:

┌───┐
│   │
└───┼>

输入: [1,1,1,1]
输出: true

前置知识

• 滚动数组

公司

• 暂无

思路

符合直觉的做法是$O(N)$时间和$O(B)$空间复杂度的算法，其中 B 为障碍物的个数，也就是行走过程中经过的坐标点的个数。这种算法非常简单，关于空间复杂度为$O(B)$的算法可以参考我之前的 874.walking-robot-simulation。 思路基本是类似，只不过 obstacles（障碍物）不是固定的，而是我们不断遍历的时候动态生成的，我们每遇到一个点，就将其标记为 obstacle。随着算法的进行，我们的 obstacles 逐渐增大，最终会增加到 $O(B)$。

但是题目要求我们使用空间复杂度为$O(1)$的做法。我们考虑进行优化。我们仔细观察发现，如果想让其不相交，从大的范围来看只有两种情况：

1. 我们画的圈不断增大。
2. 我们画的圈不断减少。

有没有感觉像迷宫？

这样我们会发现，其实我们画最新一笔的时候，并不是之前画的所有的都需要考虑，我们只需要最近的几个就可以了，实际上是最近的五个，不过不知道也没关系，我们稍后会讲解。

红色部分指的是我们需要考虑的，而剩余没有被红色标注的部分则无需考虑。不是因为我们无法与之相交，而是我们 一旦与之相交，则必然我们也一定会与红色标记部分相交。

然而我们画的方向也是不用考虑的。比如我当前画的方向是从左到右，那和我画的方向是从上到下有区别么？在这里是没区别的，不信我帮你将上图顺时针旋转 90 度看一下：

方向对于我们考虑是否相交没有差别。

当我们仔细思考的时候，会发现其实相交的情况只有以下几种：

图有误，第一种和第二种是同一种情况，换个角度看一样了。文字解释和代码已经更正

这个时候代码就呼之欲出了。

• 我们只需要遍历数组 x，假设当前是第 i 个元素。
• 如果 x[i] >= x[i - 2] and x[i - 1] <= x[i - 3]，则相交（第一种情况）
• 如果 i > 3 and x[i - 1] == x[i - 3] and x[i] + x[i - 4] == x[i - 2]，则相交（第二种情况）
• 如果 i > 4 and x[i] + x[i - 4] >= x[i - 2] and x[i - 1] >= x[i - 3] - x[i - 5] \ and x[i - 1] <= x[i - 3] and x[i - 2] >= x[i - 4] and x[i - 3] >= x[i - 5] ，则相交（第三种情况）
• 否则不相交

关键点解析

• 一定要画图辅助

• 对于这种$O(1)$空间复杂度有固定的套路。常见的有：

• 直接修改原数组

• 滚动数组（当前状态并不是和之前所有状态有关，而是仅和某几个有关）。

我们采用的是滚动数组。如果你了解动态规划的滚动数组优化的话应该理解我的意思 。但是难点就在于我们怎么知道当前状态和哪几个有关。对于这道题来说，画图或许可以帮助你打开思路。另外面试的时候说出 $O(B)$ 的思路也不失为一个帮助你冷静分析问题的手段。

代码

代码支持：Python3

class Solution:
    def isSelfCrossing(self, x: List[int]) -> bool:
        n = len(x)
        if n < 4:
            return False
        for i in range(3, n):
            if x[i] >= x[i - 2] and x[i - 1] <= x[i - 3]:
                return True
            if i > 3 and x[i - 1] == x[i - 3] and x[i] + x[i - 4] == x[i - 2]:
                return True
            if i > 4 and x[i] + x[i - 4] >= x[i - 2] and x[i - 1] >= x[i - 3] - x[i - 5] \
                    and x[i - 1] <= x[i - 3] and x[i - 2] >= x[i - 4] and x[i - 3] >= x[i - 5]:
                return True
        return False

复杂度分析

其中 N 为数组长度。

• 时间复杂度：$O(N)$
• 空间复杂度：$O(1)$