极线约束

Question

三维空间中一点 P，投影到两个不同的平面 $I_{1}$、$I_{2}$，投影点分别为 $P_{1}$，$P_{2}$。

$P$、$P_{1}、$P_{2}$ 在三维空间内构成一个平面 S。

S 与面 $I_{1}$ 的交线 $L_{1}$ 过 $P_{1}$ 点，称之为对应于 $P_{2}$ 的极线。同理 S 与 $I_{2}$ 的交线称之为对应于 $P_{1}$ 的极线（对应于左边图像点的极线在右边图像上，右边与之相同）.

如图：

所谓极线约束就是说同一个点在两幅图像上的映射，已知左图映射点 $P_{1}$，那么右图映射点 $P_{2}$ 一定在相对于 $P_1$ 的极线上，这样可以减少待匹配的点数量。

对于极线约束方程可以由以下来表示,三维向量 x 和 x’ 存放相关点，F 为一个 3*3 且秩为 2 的基础矩阵，那么：

$$ x’^T Fx = 0 ​$$

且左右两个平面的两条极线的方程为（注意 ’）：

$$ Ie = Fx ​$$

$$ Ie’ = F^T x’ ​$$

对于两条直线，以连续点的方式存储：I 和 I’ 分别在左右两幅图像上，若他们俩有对应关系，那么认为他们两条直线之间的点依次的存在对应关系。

对于左侧图像中直线 I 上的一点 x，那么对应于右侧图像中直线 I’ 中的点 x’ 可以按照下面方式求得：

对应于 x 的极线为 I’e，I’e 与直线 I’的交点为 x 对应的点 x’ 因此：

$$ x’=I’\times Ie’=I’\times (Fx) ​$$