haskell：函数作为 functor、applicative、monad 和 monoid

Question

在 haskell 里，function 本身也是 functor、applicative、monad 和 monoid。

理念

function 是天然的 container。

- b 是 test 函数包含的 value， test a 函数调用是获取 container 内部 value 的方式
test :: a -> b

function as functor

将 fmap 应用于 function 这种 functor，fmap f function。相当于构造一个新函数 \a -> f (test a)。

test a 把 function 里包含的 value 取出来，作为 f 的参数传入。然后 fmap 需要返回 functor，所以返回包裹的新函数 \a -> f (test a)

验证代码如下

- 输出 (2 + 1) * 2 = 6 
fmap (\x -> x * 2) (\x -> x + 1) $ 2

function as applicative

applicative 的函数 <*> 签名是 (<*>) :: Applicative f => f (a -> b) -> f a -> f b，两个 container 里，一个包含的 value 是 function 类型，另一个包含的是参数，<*> 把两个容器合并起来，将另一个 container 里的参数 value，传入 function 类型的 container 里。

function 自身是容器，其返回值是容器内的 value。那么容器里的 value 又是函数的情况就是高阶函数（返回函数的函数）。

验证代码如下

- 两个函数的第一个参数是同样的，其返回值，一个是函数，一个是参数，调用后 z * 3 的结果，作为参数，传入 y -> x + y 函数
- 相当于构造了函数 \x -> x + (x * 3)，输出 12
(\x y -> x + y) <*> (\z -> z * 3) $ 3

function as monad

monad 的 >>= 函数签名是 (>>=) :: Monad m => m a -> (a -> m b) -> m b，第二个参数是一个用上一个容器里的 value 构造下一个容器的函数。

验证代码如下

- 第一个 monad 里的 value 是 x + 1，作为参数传入了 `a -> m b`
- 因为 `a -> m b` 也要返回相同的 monad，所以它是高阶函数，上一个 monad 的 value 填充了其第一个参数，第二个参数跟上一个 monad 的参数是相同的。
- 相当于构造了函数 \x -> (x + 1) * x，输出 6
(\x -> x + 1) >>= (\x y -> x * y) $ 2

function as monoid

function 可以满足 monoid 的两个构建 mempty 和 mappend，其中 mempty 是 id 函数，任何函数跟 id 函数组合起来，等于其自身。mappend则是 compose，组合两个函数，通常用 . 函数来表示。

f.id = f
id.f = id
(f.g).h = f.(g.h)

use do notation for function

既然 function 也是 monad，那么我们就可以使用 do notation 来写。

- 从 n1 是 \x -> x + 1 的返回值
- 我们用 const 构造一个函数 monad，方便 <- 获取值
- 最后用 const 构造新的函数 monad，结束这个过程
- test 2 将输入 (x + 1) + ((x + 1) *2) = 9
test = do
  n1 <- \x -> x + 1
  n2 <- const $ n1 * 2
  const $ n1 + n2