概率函数算法解析

Question

有一个函数，输出 1 的概念是百分之三十，输出 0 的概念是百分之七十，使用这个函数等概率输出 100 以内的数字？

---

这个问题可以使用概率分布函数来解决，假设输出为 1 的概率为 p = 0.3 ，输出为 0 的概率为 1-p = 0.7 。那么我们可以生成一个随机数，如果这个随机数小于 p ，那么输出 1 ，否则输出 0 。

接下来的问题是如何等概率地输出 100 以内的数字。我们可以将 100 内的数字分为两个部分：

1. 小于等于 k 的数字，其中 k = floor((100+1) * p) ，即最大的小于等于 100 且输出 1 的数字。在我们的例子中， k = floor(31) = 30 。
2. 大于 k 剩余的数字。

我们可以分别计算这两个部分数字的概率，然后根据这个概率来生成随机数。对于第一部分，数字的概率是 p1 = k/100 ，对于第二部分，数字的概率是 p2 = (100-k)/100 。

现在，我们可以生成一个随机数 r ，如果 r 小于等于 p1 ，那么随机选择一个小于等于 k 的数字输出；如果 r 大于 p1 且小于等于 p1+p2 ，那么随机选择一个大于 k 且小于等于 100 的数字输出。这样，我们就能够等概率地输出 100 以内的数字了。

示例代码如下：

import random

def output_number():
    p = 0.3
    k = int((100+1) * p)
    p1 = k/100
    p2 = (100-k)/100

    r = random.random()
    if r <= p1:
        return random.randint(1, k)
    elif r <= p1+p2:
        return random.randint(k+1, 100)
    else:
        # 这里是为了防止舍入误差，如果 r 大于 p1+p2，
        # 就返回一个小于等于 100 的随机数。
        return random.randint(1, 100)

注意，这个算法并不是最优解，因为需要调用 random() 函数三次，而且需要进行两次随机数的比较，所以效率不是很高。但是这个算法比较简单易懂，而且在数字比较小时也可以接受。如果需要更高效的算法，可以使用一些特殊的技巧来提高效率。