解析 RSA 加解密算法

Question

一、RSA 是什么？

\(\textit{RSA}\) 公钥加密算法是 1977 年由 Ron Rivest、Adi Shamirh 和 Leonard Adleman 在（美国麻省理工学院）开发的。\(\textit{RSA}\) 取名来自开发他们三者的名字。

\(\textit{RSA}\) 算法基于一个十分简单的 数论事实 ：将两个大素数相乘十分容易，但想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。

二、RSA 算法原理

\(\textit{RSA}\) 算法是一种 非对称密码 算法，所谓非对称，就是指该算法需要一对密钥，使用其中一个加密，则需要用另一个才能解密。

下面我们就详细讲解下 \(\textit{RSA}\) 算法加解密过程。

2.1 RSA 算法组成部分

• 原文(Message)：需要加密的信息，可以是数字、文字、视频、音频等，用 \(M\) 表示。
• 密文(Ciphertext)：加密后得到的信息，用 \(C\) 表示。
• 公钥(Public Key) 和私钥(Private Key)：用 \(PU\) 和 \(PR\) 表示。
• 加密算法(Encryption)：若 \(E(x)\) 为加密算法，加密过程可以理解为 \(C = E(M)\) 根据原文和加密算法得到密文。
• 解密算法(Decryption)：若 \(D(x)\) 为解密算法，解密过程可以理解为 \(M=D(C)\) 根据密文和解密算法得到原文。

2.2 RSA 算法加密过程

1. 随机选择两个不相同的素数 \(p, q\)；
2. 将 \(p, q\) 相乘，记为 \(n = p \times q\)；
3. 计算 \(n\) 的欧拉函数 \(\varphi(n)\) ， 欧拉函数 证明，当 \(p, q\) 为不相同的素数时，\(\varphi(n) = (p-1)(q-1)\)。
4. 随机选择一个整数 \(e\)，满足两个条件：\(\varphi(n)\) 与 \(e\) 互质，且 \(1 < e < \varphi(n)\)。
5. 计算 \(e\) 对于 \(\varphi(n)\) 的模反元素 \(d\)，也就是说找到一个 \(d\) 满足 \(ed \equiv 1 \mod \varphi(n)\)。这个式子等价于 \(ed - 1 = k \times \varphi(n)\)，实际上就是对于方程 \(ed - k \times \varphi(n) = 1\) 求 \((d,k)\) 的整数解。这个方程可以用 扩展欧几里得算法 求解。
6. 最终把 \((e,n)\) 封装成公钥，\((d,n)\) 封装成私钥。

由于理论太枯燥，我们来举个实际例子运行一遍这个算法。

1. 随机选择两个不相同的素数 \(p,q\)。我们选择 \(p=103, q=97\)。
2. 将 \(p,q\) 相乘，\(n=103 \times 97 = 9991\)
3. \(\varphi(n)=(103-1)(97-1)=9792\)
4. 随机选择一个 \(e = 1213\)，满足 \(\varphi(n)\) 与 \(e\) 互质且 \(1 < e < \varphi(n)\)。
5. 计算 \(e\) 对于 \(\varphi(n)\) 的模反元素 \(d\)，即代入方程 \(ed - k \times \varphi(n)=1\) 求整数解。将 \(e=1213,\varphi(n)=9792\) 代入方程，得到 \(1213 \times d - 9792 \times k = 1\)，很容易可以找到 \((k,d)\) 的一组解 \(k=510, d=4117\)。
6. 封装公钥和私钥，最终得到的公钥 \((e,n)=(1213, 9991)\)，私钥 \((d,n)=(4117, 9991)\)。 至此为止，我们有了原文 \(M\) ，公钥 \((e,n)\) 和私钥 \((d,n)\)。有了这些信息就可以开始加密和解密了。

2.2.1 加密

在 \(\textit{RSA}\) 算法中，加密过程实际上就是利用公钥 \((e,n)\) 计算 \(C = M^e (mod \ n)\)。假设原文 \(M=6\)，代入上面的值，得到 \(C = 6^{1213} (mod \ 9991) = 7863\)。 于是 \(C=7863\)，Alice 就把 \(7863\) 发给了 Bob。

2.2.2 解密

Bob 收到了密文 \(C=7863\)，就用自己的私钥 \((d,n)=(4117, 9991)\) 进行解密。\(\textit{RSA}\) 证明，原文的 \(e\) 次方对 \(n\) 取模恒等于 \(c\) 的 \(d\) 次方，即 \(C^d ≡ M^e (mod \ n)\) 一定成立，所以 \(M = C^d mod \ n\)。代入 \(C,d,n\) 的值，得到 \(M = 7863^{4117} mod \ 9991 = 6\)。

所以 Bob 就从密文 \(C\) 和私钥 \((d,n)=(4117, 9991)\) 知道了加密之前的原文 \(M=6\)。

在整个通信过程 Alice 只用到了公钥 \((e,n)\) 进行加密，Bob 只用到了私钥 \((d,n)\) 解密，没有任何关于秘钥的传递，只有加密后的密文 \(C\) 有可能在通信中被窃听到。

2.3 为什么 RSA 可以保证加密通信不被破解？

回顾上面的加密过程，我们用到了六个变量： \(p,q,n,\varphi(n),e,d\)，其中只有公钥 \((e,n)\) 是公开的。想要破解密文，只要知道私钥 \((d,n)\)，计算 \(M = C^d mod \ n\) 就可以破解 \(\textit{RSA}\) 算法。

那么，有没有可能在已知公钥 \((e,n)\) 的情况下，推导出私钥 \((d,n)\)？

根据 \(\textit{RSA}\) 构造的规则（见上述 \(\textit{RSA}\) 加密过程 1-6 步），可以得到以下信息：

1. 因为公钥中已知 \(n\)，只要计算出 \(d\)，就能得到私钥。
2. \(ed ≡ 1 (mod \varphi(n))\)，需要知道 \(e\) 和 \(\varphi(n)\) 的值来求出 \(d\)。因为在公钥中已知 \(e\)，所以只要求出 \(\varphi(n)\) 的值。
3. \(\varphi(n)=(p-1)(q-1)\)，要求出 \(\varphi(n)\) 的值，需要求出 \(p,q\) 的值。
4. \(n=p \times q\)，想要求出 \(p,q\) 的值，必须对 \(n\) 做因数分解。

结论：如果 \(n\) 可以被因数分解，\(d\) 就可以沿着 4，3，2，1 步骤推出，也就意味着私钥被破解。

但是 大整数的质因数分解 ，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。

三、RSA 算法代码实现

\(\textit{RSA}\) 项目 源码 如下所示：

/********************************************************************************************
*	Copyright(c) tcpipstack
*	File Name				:	RSA.c 
*	Abstract Description	:	RSA 加解密算法的简单演示	
*	Create Date				:	2010/08/17
*	Author					:	tcpipstack
*-------------------------Revision History--------------------------------------------------
*	No	Version		Date		Revised By			Item			Description
*	 1		1.0		10/08/17
*
********************************************************************************************/

#include <stdio.h>
#include <math.h>

/* RSA 算法中加密方公布的密钥是 N 和 E，解密方使用 N 和 D 解密 */
#define P	5	/* P 和 Q 必须为素数，在实际运用中通常为很大的数 */
#define	Q	7

#define N	(P*Q)	/* add the (), or will cause the mistake */
#define Z	((P - 1)*(Q - 1))

#define E	5		/* 加密方选择 E，E 必须和 Z 只有一个公约数 */
#define D	5		/* (E * D - 1) 必须能够被 Z 整除 */
/* 由于 long int 无法表示过大的数字，所以 D 取 5 */ 

void main(void)
{
	int i;
	int TrsMsg[4] = {12, 15, 22, 5};
	long en[4], de[4];
	int SecCode[4], DeMsg[4];

	printf("下面是一个 RSA 加解密算法的简单演示:\n");
	printf("\t Copyright(C) Long.Luo.\n\n");
	printf("报文\t 加密\t   加密后密文\n");

	for (i=0; i<4; i++)
	{
		/* s = m(E) mod N */
		en[i] = (int)pow(TrsMsg[i], E);
		SecCode[i] = en[i] % N;

		printf("%d\t%d\t\t%d\n", TrsMsg[i], en[i], SecCode[i]);
	}

	printf("\n 原始报文\t 密文\t 加密\t\t 解密报文\n");
	for (i=0; i<4; i++)
	{
		/* d = s(D) mod N */
		de[i] = pow(SecCode[i], D);
		DeMsg[i] = de[i] % N;

		printf("%d\t\t%d\t%d\t\t%d\n", TrsMsg[i], SecCode[i], de[i], DeMsg[i]);
	}

	getchar();
}

输出结果如下所示：

下面是一个 RSA 加解密算法的简单演示:
	 Copyright(C) Long.Luo.

报文	加密	   加密后密文
12	248832		17
15	759375		15
22	5153632		22
5	3125		10

原始报文	密文	加密		解密报文
12		17	1419857		12
15		15	759375		15
22		22	5153632		22
5		10	100000		5

通过以上，我们就了解了 \(\textit{RSA}\)​ 算法的原理及其实现。

参考资料

1. Wiki: RSA algorithm ↩︎
2. Wiki: 欧拉函数 ↩︎
3. Wiki: 扩展欧几里得算法 ↩︎
4. 如何深入浅出地讲解 RSA 密码？ ↩︎