LeetCode - 486. Predict the Winner 排成一条线的纸牌博弈问题

Question

题目

递归解法

• 定义递归函数 f[i,j] ，表示的是如果 arr[i...j] 这个排列上的纸牌被绝顶聪明的人先拿，最终可以获得什么分数。
• 定义递归函数 s[i,j] ，表示的是如果 arr[i...j] 这个排列上的纸牌被绝顶聪明的人后拿，最终可以获得什么分数。

首先对于 f[i,j] :

• 如果 i == j ，即 arr[i...j] 上只有一张纸牌，当然会被先拿纸牌的人拿走，所以可以返回 arr[i] ;
• 如果 i != j ，此时先拿的人有两种选择。如果拿走 arr[i] ，那么会剩下 arr[i+1,j] ，这个时候，对于当前的玩家来说，他就成了后拿的人，所以他之后能获得的分数为 s(i+1,j) ； 如果他拿走的是 arr[j] ，那么会剩下 arr[i...j-1] ，对于当前的玩家来说，它成了后拿的人，之后能获得的分数为 s(i,j-1) ，因为当前的玩家会做出最好的选择，所以是 max(arr[i]+s[i+1,j], arr[j]+s[i,j-1]);

然后来考虑 s[i,j] :

• 如果 i == j ，即 arr[i...j] 上只有一张纸牌，作为后拿的人必然什么也得不到，所以返回 0 ；
• 如果 i != j ，根据 s 函数的定义，当前的玩家的对手会先拿纸牌，如果对手拿走了 arr[i...j] 中的 arr[i] ，剩下 arr[i+1,j] ，然后轮到当前玩家拿。如果对手拿走了 arr[i...j] 中的 arr[j] ，剩下 arr[i,j-1] ，然后轮到当前玩家拿。因为对手会拿走最好的，所以当前玩家只能拿最差的，所以是 min(f[i+1,j],f[i,j-1]) ；

所以可以写出如下的代码

class Solution {

    public boolean PredictTheWinner(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length == 0)
            return true;
        return f(arr, 0, arr.length - 1) >= s(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    public int f(int[] arr, int i, int j) { //先拿的
        if (i == j)
            return arr[i];
        return Math.max(arr[i] + s(arr, i + 1, j), arr[j] + s(arr, i, j - 1)); //拿了其中一个之后，当前玩家成了后拿的那个人
    }

    public int s(int[] arr, int i, int j) { //后拿的
        if (i == j) //后拿的这个　已经不能拿了
            return 0;
        return Math.min(f(arr, i + 1, j), f(arr, i, j - 1));
    }
}

动态规划解法

上面的方法的时间复杂度达到 O(2^n) 次方，我们可以根据上面的方法来改出动态规划。

• 先生成两张二维 dp 表， f 表和 s 表，我们发现，根据上面的方法， f 表中的主对角线上的值就是 arr[i] 的值（即 f[i][i] = arr[i] )；
• 同理 s 表中的主对角线上的值为 0 ；
• 然后我们可以得到 f 表中的某个位置 f[i,j] 依赖的是 s 表中的位置 s[i+1,j] 和 s[i,j-1] (即下面的位置和左边的位置)；
• s 表中同理依赖 f 表中 f[i+1][j] 和 f[i,j-1] 的位置；

具体过程看下图：

最后我们要求的就是 f[0][len] 和 s[0][len] 这两个值，如果 f[0][len] 更大的话，第一个玩家就能赢；

可以写出如下代码

class Solution {

    public boolean PredictTheWinner(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0 || nums.length == 1)
            return true;
        int len = nums.length - 1;
        int[][] f = new int[len + 1][len + 1];
        int[][] s = new int[len + 1][len + 1];
        for (int i = 0; i <= len; i++) {//对角线上填充（就是递归中的边界条件)
            f[i][i] = nums[i];
//            s[i][i] = 0;  // 数组自动初始化
        }
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j <= len; j++) {
                f[i][j] = Math.max(nums[i] + s[i + 1][j], nums[j] + s[i][j - 1]); //注意这里是 arr[j]+是 s[i][j-1]
                s[i][j] = Math.min(f[i + 1][j], f[i][j - 1]);
            }
        }
        return f[0][len] >= s[0][len];
    }
}