LeetCode 1899. 合并若干三元组以形成目标三元组

Question

三元组 是一个由三个整数组成的数组。给你一个二维整数数组 triplets ，其中 triplets[i] = [ai, bi, ci] 表示第 i 个 三元组 。同时，给你一个整数数组 target = [x, y, z] ，表示你想要得到的 三元组 。

为了得到 target ，你需要对 triplets 执行下面的操作 任意次（可能 零 次）：

选出两个下标（下标 从 0 开始 计数）i 和 j（i != j），并 更新 triplets[j] 为 [max(ai, aj), max(bi, bj), max(ci, cj)] 。
例如，triplets[i] = [2, 5, 3] 且 triplets[j] = [1, 7, 5]，triplets[j] 将会更新为 [max(2, 1), max(5, 7), max(3, 5)] = [2, 7, 5] 。

如果通过以上操作我们可以使得目标 三元组 target 成为 triplets 的一个 元素 ，则返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：

输入：triplets = [[2,5,3],[1,8,4],[1,7,5]], target = [2,7,5]
输出：true
解释：执行下述操作：
- 选择第一个和最后一个三元组 [[2,5,3],[1,8,4],[1,7,5]] 。更新最后一个三元组为 [max(2,1), max(5,7), max(3,5)] = [2,7,5] 。triplets = [[2,5,3],[1,8,4],[2,7,5]]
目标三元组 [2,7,5] 现在是 triplets 的一个元素。

示例 2：

输入：triplets = [[1,3,4],[2,5,8]], target = [2,5,8]
输出：true
解释：目标三元组 [2,5,8] 已经是 triplets 的一个元素。

示例 3：

输入：triplets = [[2,5,3],[2,3,4],[1,2,5],[5,2,3]], target = [5,5,5]
输出：true
解释：执行下述操作：
- 选择第一个和第三个三元组 [[2,5,3],[2,3,4],[1,2,5],[5,2,3]] 。更新第三个三元组为 [max(2,1), max(5,2), max(3,5)] = [2,5,5] 。triplets = [[2,5,3],[2,3,4],[2,5,5],[5,2,3]] 。
- 选择第三个和第四个三元组 [[2,5,3],[2,3,4],[2,5,5],[5,2,3]] 。更新第四个三元组为 [max(2,5), max(5,2), max(5,3)] = [5,5,5] 。triplets = [[2,5,3],[2,3,4],[2,5,5],[5,5,5]] 。
目标三元组 [5,5,5] 现在是 triplets 的一个元素。

示例 4：

输入：triplets = [[3,4,5],[4,5,6]], target = [3,2,5]
输出：false
解释：无法得到 [3,2,5] ，因为 triplets 不含 2 。

提示：

1 <= triplets.length <= 105
triplets[i].length == target.length == 3
1 <= ai, bi, ci, x, y, z <= 1000

前置知识

• 贪心

思路（贪心）

为了描述方便，我将题目中的操作选出两个下标（下标 从 0 开始 计数）i 和 j（i != j），并 更新 triplets[j] 为 [max(ai, aj), max(bi, bj), max(ci, cj)] 简称为 max 操作。

暴力的思路是枚举所有的可能。即枚举二元组合，接下来将 max 操作结果放回 triplets，经过这样的操作 triples 长度减少了 1。不断执行这样的 max 操作即可得到得到结果。

接下来，我们思考如下优化。

要点一

首先枚举的顺序是无关的。比如先枚举 triplets[0] 和 triplets[1]，再将结果与 triplets[2] 进行 max 操作。这其实等价于 triplets[1] 和 triplets[2]，再将结果与 triplets[0] 进行 max 操作。

这其实很重要。 比如背包问题就是顺序无关的，因此就可以进行优化，而不是暴力枚举所有可能。

要点二

接下来是第二个要点。即 max 操作其实是单调递增的。比如将 triplets[0] 和 triplets[1] 进行 max 操作，那么 max 结果(cx, cy, cz) 一定分别比 triplets[0] 和 triplets[1] 不比对应位置小。即：

• cx >= triplets[0][0]
• cx >= triplets[1][0]
• cy >= triplets[0][1]
• cy >= triplets[1][1]
• cz >= triplets[0][2]
• cz >= triplets[1][2]

这样就有一个重要性质。 比如 当前的 max 结果是 (cx, cy, cz) 与 (x, y, z) 进行 max 操作，其中 x <= tx, y <= ty, z <= tz，一定不会比不 max 差，其中 (tx, ty, tz) 就是题目给的 target。 这样我们可以贪心地与其进行 max 操作。如果最终 max 结果与 (tx, ty, tz) 相同，那么返回 True， 否则返回 False。

要点三

还剩最后一个要点。那就是我们选择的若干 triplets 中一定不能有比 target 对应位大，这是显然的。比如 target = [2,3,5] , 那么选择的三元组 (cx, cy, cz) 一定满足：

• cx <= 2
• cy <= 3
• cz <= 5

具体算法

由于我的算法就有了，那就是将满足要点三的三元组全部进行 max 操作，由要点一知道 max 操作顺序其实是无所谓的，因此怎么遍历都行。最后将 max 结果与 target 比对即可。

关键点

• max 操作的单调递增性

代码

• 语言支持：Python3, CPP

Python3 Code:

class Solution:
    def mergeTriplets(self, triplets: List[List[int]], target: List[int]) -> bool:
        tx, ty, tz = target
        cx = cy = cz = 0
        for a, b, c in triplets:
            if a <= tx and b <= ty and c <= tz:
                cx, cy, cz = max(cx, a), max(cy, b), max(cz, c)
        return (cx, cy, cz) == (tx, ty, tz)

CPP Code:

class Solution {
public:
    bool mergeTriplets(vector<vector<int>>& triplets, vector<int>& target) {
        bool sx = false, sy = false, sz = false;
        for (int i = 0; i < triplets.size() && (!sx || !sy || !sz); i++) {
            auto &t = triplets[i];
            if (t[0] == target[0] && t[1] <= target[1] && t[2] <= target[2]) {
                sx = true;
            }
            if (t[1] == target[1] && t[0] <= target[0] && t[2] <= target[2]) {
                sy = true;
            }
            if (t[2] == target[2] && t[0] <= target[0] && t[1] <= target[1]) {
                sz = true;
            }
        }
        return sx && sy && sz;
    }
};

复杂度分析

令 n 为 triplets 长度。

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

扩展

如果题目的 max 操作改成二进制位的或操作，那么会有什么不一样呢？

提示：或也具有单调递增性，本质和 max 操作差不多。