非常大数的正弦标准

Question

我正在 TeX 中编写一个（几乎）符合 IEEE 854 的浮点实现（仅支持 32 位整数）。本标准仅规定了+、-、*、/、比较、余数、的结果>sqrt：对于这些操作，结果应该与将精确结果四舍五入到可表示的数字相同（根据舍入模式）。

我似乎记得 IEEE 指定超越函数（sin、exp...）应该产生忠实的结果（在默认的舍入到最近模式下，它们应该输出围绕确切结果的两个可表示数字之一）。计算小数的正弦相当简单：移位 2*pi 的倍数以获得 [0,2*pi] 范围内的数字，然后做更多工作将范围缩小到 [0,pi/4] ，并使用泰勒级数。

现在假设我要计算 sin(1e300)。为此，我需要找到 1e300 模 2*pi。这需要知道 pi 的 300（316？） 位小数，因为只有 16 位小数，结果就没有任何意义（特别是，它不忠实）。

对于 sin(1e300) 和类似的非常大的数字的结果应该是什么有一个标准吗？

其他浮点实现有什么作用？

Answer 1

没有标准要求对超越函数进行忠实舍入。 IEEE-754 (2008) 建议但不要求这些函数正确舍入。

大多数优秀的数学库都致力于在整个范围内提供忠实的舍入结果（是的，即使对于 sin( ) 的大量输入和类似的困难情况也是如此）。正如您所注意到的，这要求库知道的 π 位数比最大可表示数中的位数要多一些。这称为“无限 pi”参数缩减。

对于@spraff 提出的观点，好的数学库采用输入无限精确的观点（即，函数的行为应该就像输入始终准确表示一样）。人们可以争论这是否是一个合理的立场，但这基本上是所有优秀数学库的工作假设。

话虽如此，有很多库采取了简单的方法并使用“有限 pi”约简，这基本上将像 sin( ) 这样的函数视为 π 是一个可表示的有限数。事实证明，这对于大多数用途来说并没有真正造成任何麻烦，而且当然更容易实现。

Answer 2

如果你对如此大的数字进行运算，当然你会失去精度：

#include <iostream>
#include <math.h>

int main () {
    long double i = 1;
    std :: cout << sin (i) << "\n" << sin (i+0.1) << "\n";
    i = pow (10, 300);
    std :: cout << sin (i) << "\n" << sin (i+0.1);
}

输出：

0.841471

0.891207

-0.817882

-0.81788

如果无法准确表示输入，则无法准确表示输出。减去 pi*pow(10,int(log_10(n/pi)) 或其他任何方法都会使“小”n 的情况变得更糟，但是当 n< /code> 变得适当大，你只是将噪音添加到噪音中，这不再重要了。