一个概率问题请教

Question

一个概率问题请教，如共100个球， 70个黑球，30个白球， 每次抽两个， 抽完不放回。问抽一黑一白的概率？以及总的抽中一黑一白的概率， 即总的50次中抽一黑一白的次数占比？

Answer 1

手机用户麻烦移步到浏览器，app 端不渲染 mathjax

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在一轮摸球中，一黑一白只可能出现偶数次（否则会有一黑落单）

对于 $0 <= k <= 15$，若一黑一白出现了 $2k$ 次，则这五十次中，有 $2k$ 次一黑一白，$15-k$次全白，$35-k$ 次全黑，样本总数为 $C_{50}^{2k} C_{50-2k}^{15-k}$，总期望值为

$${\sum_{k=0}^{15}{2k C_{50}^{2k} C_{50-2k}^{15-k}} \over \sum_{k=0}^{15}{C_{50}^{2k} C_{50-2k}^{15-k}}}$$

#! /usr/bin/python3

from functools import reduce

def comb(x, n):
    if not x: return 1
    return reduce(lambda x, y: x * y, ((n+1-i) for i in range(1, x+1)))/reduce(lambda x, y: x * y, range(1, x+1))

print(sum(map(lambda k: 2*k*comb(2*k, 50)*comb(15-k, 50-2*k), range(16)))*1.0/sum(map(lambda k: comb(2*k, 50)*comb(15-k, 50-2*k), range(16))))

结果为 $14.770404$。

Answer 2

P(黑球和白球）= （70/100） × （30/99）
P(白球和黑球）= （30/100） × （70/99）
抽一黑一白的概率 = P(黑球和白球）+ P(白球和黑球）

Answer 3

关键是要认识到每次抽出一黑一白的概率不变，都等于第一次的概率：

$$\frac{30 \times 70}{100 \choose 2}=\frac{14}{33}$$

50次的话抽到一黑一白的平均次数就是

$$\frac{14}{33} \times 50 = 21.2$$