Question

1088. 易混淆数 II

English Version

题目描述

易混淆数（Confusing Number）指的是一个数字在整体旋转 180° 以后，能够得到一个和原来 不同 的数，且 新数字的每一位都应该是有效的。

本题我们会将数字旋转 180° 来生成一个新的数字。

• 当 0、1、6、8、9 旋转 180° 以后，我们得到的新数字分别为 0、1、9、8、6。
• 当 2、3、4、5、7 旋转 180° 后，是 无法 得到任何数字的。

请注意，在旋转一个数字之后，我们可以忽略前导零。

• 例如，在旋转 8000 之后，我们有 0008 ，它被认为只是 8 。

给出正整数 n，请你返回  _[1, n] 范围内的 易混淆数 的数量 _。

 

示例 1：

输入：n = 20
输出：6
解释：易混淆数为 [6,9,10,16,18,19]。
6 转换为 9
9 转换为 6
10 转换为 01 也就是 1
16 转换为 91
18 转换为 81
19 转换为 61

示例 2：

输入：n = 100
输出：19
解释：易混淆数为 [6,9,10,16,18,19,60,61,66,68,80,81,86,89,90,91,98,99,100]。

 

提示：

• 1 <= n <= 109

解法

方法一：数位 DP

我们先将数字 $n$ 转成字符串 $s$。

接下来，我们定义一个函数 $check(x)$，用来判断 $x$ 在旋转 $180^\circ$ 之后是否变成了一个不同的数。如果 $x$ 在旋转 $180^\circ$ 之后变成了一个不同的数，那么我们就称 $x$ 是一个易混淆数。

然后，我们定义另一个函数 $dfs(pos, limit, x)$，用于搜索从高位到低位的每一位。其中：

• 参数 $pos$ 表示当前搜索到的位置，初始时为 $0$；
• 参数 $limit$ 表示当前搜索的数是否受到上界的限制，初始时为 $true$；
• 参数 $x$ 表示当前搜索的数，初始时为 $0$。

在 $dfs(pos, limit, x)$ 中，如果 $pos \geq len(s)$，那么我们就判断 $x$ 是否是一个易混淆数，如果是则返回 $1$，否则返回 $0$。

否则，我们计算出当前位置上的数字的上界 $up$，然后枚举当前位置上的数字 $i$，如果 $i$ 在旋转 $180^\circ$ 之后不是一个数字，那么我们就直接跳过这个数字。否则，我们将 $x$ 更新为 $x \times 10 + i$，并根据 $limit$ 的值决定下一步搜索的时候是否受到上界的限制，最后将答案返回。

最终的答案即为 $dfs(0, true, 0)$。

时间复杂度 $O(5^{\log_{10}n})$，空间复杂度 $O(\log_{10}n)$。其中 $5^{\log_{10}n}$ 表示 $n$ 的位数。

class Solution:
  def confusingNumberII(self, n: int) -> int:
    def check(x: int) -> bool:
      y, t = 0, x
      while t:
        t, v = divmod(t, 10)
        y = y * 10 + d[v]
      return x != y

    def dfs(pos: int, limit: bool, x: int) -> int:
      if pos >= len(s):
        return int(check(x))
      up = int(s[pos]) if limit else 9
      ans = 0
      for i in range(up + 1):
        if d[i] != -1:
          ans += dfs(pos + 1, limit and i == up, x * 10 + i)
      return ans

    d = [0, 1, -1, -1, -1, -1, 9, -1, 8, 6]
    s = str(n)
    return dfs(0, True, 0)

class Solution {
  private final int[] d = {0, 1, -1, -1, -1, -1, 9, -1, 8, 6};
  private String s;

  public int confusingNumberII(int n) {
    s = String.valueOf(n);
    return dfs(0, 1, 0);
  }

  private int dfs(int pos, int limit, int x) {
    if (pos >= s.length()) {
      return check(x) ? 1 : 0;
    }
    int up = limit == 1 ? s.charAt(pos) - '0' : 9;
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= up; ++i) {
      if (d[i] != -1) {
        ans += dfs(pos + 1, limit == 1 && i == up ? 1 : 0, x * 10 + i);
      }
    }
    return ans;
  }

  private boolean check(int x) {
    int y = 0;
    for (int t = x; t > 0; t /= 10) {
      int v = t % 10;
      y = y * 10 + d[v];
    }
    return x != y;
  }
}

class Solution {
public:
  int confusingNumberII(int n) {
    string s = to_string(n);
    int d[10] = {0, 1, -1, -1, -1, -1, 9, -1, 8, 6};
    auto check = [&](int x) -> bool {
      int y = 0;
      for (int t = x; t; t /= 10) {
        int v = t % 10;
        y = y * 10 + d[v];
      }
      return x != y;
    };
    function<int(int, int, int)> dfs = [&](int pos, int limit, int x) -> int {
      if (pos >= s.size()) {
        return check(x);
      }
      int up = limit ? s[pos] - '0' : 9;
      int ans = 0;
      for (int i = 0; i <= up; ++i) {
        if (d[i] != -1) {
          ans += dfs(pos + 1, limit && i == up, x * 10 + i);
        }
      }
      return ans;
    };
    return dfs(0, 1, 0);
  }
};

func confusingNumberII(n int) int {
  d := [10]int{0, 1, -1, -1, -1, -1, 9, -1, 8, 6}
  s := strconv.Itoa(n)
  check := func(x int) bool {
    y := 0
    for t := x; t > 0; t /= 10 {
      v := t % 10
      y = y*10 + d[v]
    }
    return x != y
  }
  var dfs func(pos int, limit bool, x int) int
  dfs = func(pos int, limit bool, x int) (ans int) {
    if pos >= len(s) {
      if check(x) {
        return 1
      }
      return 0
    }
    up := 9
    if limit {
      up = int(s[pos] - '0')
    }
    for i := 0; i <= up; i++ {
      if d[i] != -1 {
        ans += dfs(pos+1, limit && i == up, x*10+i)
      }
    }
    return
  }
  return dfs(0, true, 0)
}

function confusingNumberII(n: number): number {
  const s = n.toString();
  const d: number[] = [0, 1, -1, -1, -1, -1, 9, -1, 8, 6];
  const check = (x: number) => {
    let y = 0;
    for (let t = x; t > 0; t = Math.floor(t / 10)) {
      const v = t % 10;
      y = y * 10 + d[v];
    }
    return x !== y;
  };
  const dfs = (pos: number, limit: boolean, x: number): number => {
    if (pos >= s.length) {
      return check(x) ? 1 : 0;
    }
    const up = limit ? parseInt(s[pos]) : 9;
    let ans = 0;
    for (let i = 0; i <= up; ++i) {
      if (d[i] !== -1) {
        ans += dfs(pos + 1, limit && i === up, x * 10 + i);
      }
    }
    return ans;
  };
  return dfs(0, true, 0);
}