Question

2039. 网络空闲的时刻

English Version

题目描述

给你一个有 n 个服务器的计算机网络，服务器编号为 0 到 n - 1 。同时给你一个二维整数数组 edges ，其中 edges[i] = [ui, vi] 表示服务器 ui 和 vi 之间有一条信息线路，在 一秒 内它们之间可以传输 任意 数目的信息。再给你一个长度为 n 且下标从 0 开始的整数数组 patience 。

题目保证所有服务器都是 相通 的，也就是说一个信息从任意服务器出发，都可以通过这些信息线路直接或间接地到达任何其他服务器。

编号为 0 的服务器是 主 服务器，其他服务器为 数据 服务器。每个数据服务器都要向主服务器发送信息，并等待回复。信息在服务器之间按 最优 线路传输，也就是说每个信息都会以 最少时间 到达主服务器。主服务器会处理 所有 新到达的信息并 立即 按照每条信息来时的路线 反方向 发送回复信息。

在 0 秒的开始，所有数据服务器都会发送各自需要处理的信息。从第 1 秒开始，每 一秒最 开始 时，每个数据服务器都会检查它是否收到了主服务器的回复信息（包括新发出信息的回复信息）：

• 如果还没收到任何回复信息，那么该服务器会周期性 重发 信息。数据服务器 i 每 patience[i] 秒都会重发一条信息，也就是说，数据服务器 i 在上一次发送信息给主服务器后的 patience[i] 秒 后 会重发一条信息给主服务器。
• 否则，该数据服务器 不会重发 信息。

当没有任何信息在线路上传输或者到达某服务器时，该计算机网络变为 空闲 状态。

请返回计算机网络变为 空闲 状态的 最早秒数 。

 

示例 1：

输入：edges = [[0,1],[1,2]], patience = [0,2,1]
输出：8
解释：
0 秒最开始时，
- 数据服务器 1 给主服务器发出信息（用 1A 表示）。
- 数据服务器 2 给主服务器发出信息（用 2A 表示）。

1 秒时，
- 信息 1A 到达主服务器，主服务器立刻处理信息 1A 并发出 1A 的回复信息。
- 数据服务器 1 还没收到任何回复。距离上次发出信息过去了 1 秒（1 < patience[1] = 2），所以不会重发信息。
- 数据服务器 2 还没收到任何回复。距离上次发出信息过去了 1 秒（1 == patience[2] = 1），所以它重发一条信息（用 2B 表示）。

2 秒时，
- 回复信息 1A 到达服务器 1 ，服务器 1 不会再重发信息。
- 信息 2A 到达主服务器，主服务器立刻处理信息 2A 并发出 2A 的回复信息。
- 服务器 2 重发一条信息（用 2C 表示）。
...
4 秒时，
- 回复信息 2A 到达服务器 2 ，服务器 2 不会再重发信息。
...
7 秒时，回复信息 2D 到达服务器 2 。

从第 8 秒开始，不再有任何信息在服务器之间传输，也不再有信息到达服务器。
所以第 8 秒是网络变空闲的最早时刻。

示例 2：

输入：edges = [[0,1],[0,2],[1,2]], patience = [0,10,10]
输出：3
解释：数据服务器 1 和 2 第 2 秒初收到回复信息。
从第 3 秒开始，网络变空闲。

 

提示：

• n == patience.length
• 2 <= n <= 105
• patience[0] == 0
• 对于 1 <= i < n ，满足 1 <= patience[i] <= 105
• 1 <= edges.length <= min(105, n * (n - 1) / 2)
• edges[i].length == 2
• 0 <= ui, vi < n
• ui != vi
• 不会有重边。
• 每个服务器都直接或间接与别的服务器相连。

解法

方法一：BFS

我们先根据二维数组 $edges$ 构建无向图 $g$，其中 $g[u]$ 表示节点 $u$ 的所有邻居节点。

然后，我们可以使用广度优先搜索的方式，找出每个节点 $i$ 距离主服务器的最短距离 $d_i$，那么节点 $i$ 发出信息后，最早能收到回复的时间为 $2 \times d_i$。由于每个数据服务器 $i$ 每隔 $patience[i]$ 会重发一条信息，因此，每个数据服务器最后一次发出信息的时间为 $(2 \times d_i - 1) / patience[i] \times patience[i]$，那么最后收到回复的时间为 $(2 \times d_i - 1) / patience[i] \times patience[i] + 2 \times d_i$，再加上 $1$ 秒的处理时间，即为该数据服务器变为空闲的最早时间。我们找出最晚的这个时间，即为计算机网络变为空闲的最早时间。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为节点数。

class Solution:
  def networkBecomesIdle(self, edges: List[List[int]], patience: List[int]) -> int:
    g = defaultdict(list)
    for u, v in edges:
      g[u].append(v)
      g[v].append(u)
    q = deque([0])
    vis = {0}
    ans = d = 0
    while q:
      d += 1
      t = d * 2
      for _ in range(len(q)):
        u = q.popleft()
        for v in g[u]:
          if v not in vis:
            vis.add(v)
            q.append(v)
            ans = max(ans, (t - 1) // patience[v] * patience[v] + t + 1)
    return ans

class Solution {
  public int networkBecomesIdle(int[][] edges, int[] patience) {
    int n = patience.length;
    List<Integer>[] g = new List[n];
    Arrays.setAll(g, k -> new ArrayList<>());
    for (int[] e : edges) {
      int u = e[0], v = e[1];
      g[u].add(v);
      g[v].add(u);
    }
    Deque<Integer> q = new ArrayDeque<>();
    q.offer(0);
    boolean[] vis = new boolean[n];
    vis[0] = true;
    int ans = 0, d = 0;
    while (!q.isEmpty()) {
      ++d;
      int t = d * 2;
      for (int i = q.size(); i > 0; --i) {
        int u = q.poll();
        for (int v : g[u]) {
          if (!vis[v]) {
            vis[v] = true;
            q.offer(v);
            ans = Math.max(ans, (t - 1) / patience[v] * patience[v] + t + 1);
          }
        }
      }
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int networkBecomesIdle(vector<vector<int>>& edges, vector<int>& patience) {
    int n = patience.size();
    vector<int> g[n];
    for (auto& e : edges) {
      int u = e[0], v = e[1];
      g[u].push_back(v);
      g[v].push_back(u);
    }
    queue<int> q{{0}};
    bool vis[n];
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    vis[0] = true;
    int ans = 0, d = 0;
    while (!q.empty()) {
      ++d;
      int t = d * 2;
      for (int i = q.size(); i; --i) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for (int v : g[u]) {
          if (!vis[v]) {
            vis[v] = true;
            q.push(v);
            ans = max(ans, (t - 1) / patience[v] * patience[v] + t + 1);
          }
        }
      }
    }
    return ans;
  }
};

func networkBecomesIdle(edges [][]int, patience []int) (ans int) {
  n := len(patience)
  g := make([][]int, n)
  for _, e := range edges {
    u, v := e[0], e[1]
    g[u] = append(g[u], v)
    g[v] = append(g[v], u)
  }
  q := []int{0}
  vis := make([]bool, n)
  vis[0] = true
  for d := 1; len(q) > 0; d++ {
    t := d * 2
    for i := len(q); i > 0; i-- {
      u := q[0]
      q = q[1:]
      for _, v := range g[u] {
        if !vis[v] {
          vis[v] = true
          q = append(q, v)
          ans = max(ans, (t-1)/patience[v]*patience[v]+t+1)
        }
      }
    }
  }
  return
}

function networkBecomesIdle(edges: number[][], patience: number[]): number {
  const n = patience.length;
  const g: number[][] = Array.from({ length: n }, () => []);
  for (const [u, v] of edges) {
    g[u].push(v);
    g[v].push(u);
  }
  const vis: boolean[] = Array.from({ length: n }, () => false);
  vis[0] = true;
  let q: number[] = [0];
  let ans = 0;
  for (let d = 1; q.length > 0; ++d) {
    const t = d * 2;
    const nq: number[] = [];
    for (const u of q) {
      for (const v of g[u]) {
        if (!vis[v]) {
          vis[v] = true;
          nq.push(v);
          ans = Math.max(ans, (((t - 1) / patience[v]) | 0) * patience[v] + t + 1);
        }
      }
    }
    q = nq;
  }
  return ans;
}